题目
若随机变量的分布函数F(x)=A+Barctan x,则下面说法正确的是（）A. A=0.5,B=0.4B. A=(1)/(pi),B=(1)/(pi)C. A=(1)/(pi),B=0.5D. A=0.5,B=(1)/(pi)
若随机变量的分布函数$F(x)=A+B\arctan x$,则下面说法正确的是（）
A. $A=0.5,B=0.4$
B. $A=\frac{1}{\pi},B=\frac{1}{\pi}$
C. $A=\frac{1}{\pi},B=0.5$
D. $A=0.5,B=\frac{1}{\pi}$
题目解答
答案
D. $A=0.5,B=\frac{1}{\pi}$
解析
步骤 1：确定分布函数的极限条件
根据分布函数的性质，当 $ x \to -\infty $ 时，$ F(x) \to 0 $；当 $ x \to +\infty $ 时，$ F(x) \to 1 $。对于 $ F(x) = A + B \arctan x $，我们需要满足这两个条件。
步骤 2：应用极限条件求解A和B
1. 当 $ x \to -\infty $ 时，$ \arctan x \to -\frac{\pi}{2} $，故 $ A - B \frac{\pi}{2} = 0 $。
2. 当 $ x \to +\infty $ 时，$ \arctan x \to \frac{\pi}{2} $，故 $ A + B \frac{\pi}{2} = 1 $。
步骤 3：解方程组求解A和B
解方程组： \[ \begin{cases} A - B \frac{\pi}{2} = 0 \\ A + B \frac{\pi}{2} = 1 \end{cases} \] 得 $ A = \frac{1}{2} $，$ B = \frac{1}{\pi} $。
根据分布函数的性质，当 $ x \to -\infty $ 时，$ F(x) \to 0 $；当 $ x \to +\infty $ 时，$ F(x) \to 1 $。对于 $ F(x) = A + B \arctan x $，我们需要满足这两个条件。
步骤 2：应用极限条件求解A和B
1. 当 $ x \to -\infty $ 时，$ \arctan x \to -\frac{\pi}{2} $，故 $ A - B \frac{\pi}{2} = 0 $。
2. 当 $ x \to +\infty $ 时，$ \arctan x \to \frac{\pi}{2} $，故 $ A + B \frac{\pi}{2} = 1 $。
步骤 3：解方程组求解A和B
解方程组： \[ \begin{cases} A - B \frac{\pi}{2} = 0 \\ A + B \frac{\pi}{2} = 1 \end{cases} \] 得 $ A = \frac{1}{2} $，$ B = \frac{1}{\pi} $。