【简答题】设一袋中有4个白球,3个黑球,求(1)从中不放回任取4个球,恰好取到3个白球的概率;(2)从中有放回地抽取4个球,求恰好取到 3 个白球的概率

步骤 1：确定问题类型
(1) 问题属于超几何分布，因为是从有限总体中不放回地抽取样本。
(2) 问题属于二项分布，因为是从有限总体中有放回地抽取样本。

步骤 2：计算不放回抽取的概率
(1) 从7个球中不放回地抽取4个球，恰好取到3个白球的概率，可以使用超几何分布公式计算。超几何分布的概率公式为：
\[ P(X=k) = \frac{\binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} \]
其中，\(N\)是总体的大小，\(M\)是总体中具有某种特征的个体数，\(n\)是样本的大小，\(k\)是样本中具有某种特征的个体数。
在本题中，\(N=7\)，\(M=4\)，\(n=4\)，\(k=3\)。
\[ P(X=3) = \frac{\binom{4}{3} \binom{3}{1}}{\binom{7}{4}} = \frac{4 \times 3}{35} = \frac{12}{35} \]

步骤 3：计算有放回抽取的概率
(2) 从7个球中有放回地抽取4个球，恰好取到3个白球的概率，可以使用二项分布公式计算。二项分布的概率公式为：
\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
其中，\(n\)是试验次数，\(k\)是成功次数，\(p\)是每次试验成功的概率。
在本题中，\(n=4\)，\(k=3\)，\(p=\frac{4}{7}\)。
\[ P(X=3) = \binom{4}{3} \left(\frac{4}{7}\right)^3 \left(\frac{3}{7}\right)^1 = 4 \times \frac{64}{343} \times \frac{3}{7} = \frac{768}{2401} \]