例1 求通过直线 ) 2x+y-2z+1=0 x+2y-z-2=0 . 且与平面 x+y+z-1=0 垂直的平面方程.

考查要点：本题主要考查空间几何中平面方程的求解，涉及平面系方程的应用及平面垂直的条件。

解题核心思路：

1. 平面系方程：通过已知两平面的交线（即给定直线）的所有平面，可表示为原两平面方程的线性组合。
2. 垂直条件：两平面垂直的充要条件是它们的法向量点积为零。利用此条件确定平面系中的特定平面。

破题关键点：

• 构造平面系方程：设所求平面为原两平面方程的线性组合。
• 法向量垂直条件：通过法向量点积为零建立方程，解出参数比例关系，最终确定平面方程。

步骤1：构造平面系方程

设所求平面方程为原两平面方程的线性组合：
$l(2x + y - 2z + 1) + m(x + 2y - z - 2) = 0$
展开整理得：
$(2l + m)x + (l + 2m)y + (-2l - m)z + (l - 2m) = 0$

步骤2：确定法向量垂直条件

给定平面 $x + y + z - 1 = 0$ 的法向量为 $(1, 1, 1)$，所求平面的法向量为 $(2l + m, l + 2m, -2l - m)$。根据垂直条件：
$(2l + m) \cdot 1 + (l + 2m) \cdot 1 + (-2l - m) \cdot 1 = 0$
化简得：
$l + 2m = 0 \quad \Rightarrow \quad l : m = 2 : (-1)$

步骤3：代入参数求平面方程

取 $l = 2$，$m = -1$，代入平面系方程：
$2(2x + y - 2z + 1) - (x + 2y - z - 2) = 0$
展开并整理：
$3x - 3z + 4 = 0$