题目
波长为500 nm的单色光以30°的倾角入射到光栅上,已知光栅常数 d=-|||-2.10μm、透光缝宽 =0.7mu m, 求所有能看到的谱线级次.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定光栅方程
光栅方程为 $d(\sin \theta -\sin {\theta }_{0})=k\lambda $，其中 $d$ 是光栅常数，$\theta$ 是衍射角，${\theta }_{0}$ 是入射角，$k$ 是谱线级次，$\lambda$ 是光的波长。
步骤 2：确定光栅方程的解
根据光栅方程，可以得到 $\sin \theta =\dfrac {k\lambda }{d}+\sin {\theta }_{0}$。由于 $\sin \theta$ 的取值范围是 $[-1,1]$，因此需要解不等式 $|\dfrac {k\lambda }{d}+\sin {\theta }_{0}|\lt 1$。
步骤 3：解不等式
将已知条件代入不等式，得到 $|\dfrac {k\times 500\times {10}^{-9}}{2.10\times {10}^{-6}}+\sin 30°|\lt 1$，即 $|\dfrac {k}{4.2}+0.5|\lt 1$。解得 $-6.3\lt k\lt 2.1$。
步骤 4：确定谱线级次
由于 $k$ 必须是整数，因此 $k$ 的取值范围为 $-6$ 到 $2$。但是，由于光栅的缺级问题，当 $\dfrac {d}{a}$ 为整数时，会出现缺级现象。因此，需要计算 $\dfrac {d}{a}=\dfrac {2.10\times {10}^{-6}}{0.7\times {10}^{-3}}=3$，因此 $\pm 3$ 和 $\pm 6$ 级次的谱线将缺失。
步骤 5：确定能看到的谱线级次
根据步骤 4 的结果，能看到的谱线级次为 $1$、$2$、$0$、$-1$、$-2$、$-4$、$-5$，共 $7$ 条。
光栅方程为 $d(\sin \theta -\sin {\theta }_{0})=k\lambda $，其中 $d$ 是光栅常数，$\theta$ 是衍射角，${\theta }_{0}$ 是入射角，$k$ 是谱线级次，$\lambda$ 是光的波长。
步骤 2：确定光栅方程的解
根据光栅方程，可以得到 $\sin \theta =\dfrac {k\lambda }{d}+\sin {\theta }_{0}$。由于 $\sin \theta$ 的取值范围是 $[-1,1]$，因此需要解不等式 $|\dfrac {k\lambda }{d}+\sin {\theta }_{0}|\lt 1$。
步骤 3：解不等式
将已知条件代入不等式，得到 $|\dfrac {k\times 500\times {10}^{-9}}{2.10\times {10}^{-6}}+\sin 30°|\lt 1$，即 $|\dfrac {k}{4.2}+0.5|\lt 1$。解得 $-6.3\lt k\lt 2.1$。
步骤 4：确定谱线级次
由于 $k$ 必须是整数，因此 $k$ 的取值范围为 $-6$ 到 $2$。但是，由于光栅的缺级问题，当 $\dfrac {d}{a}$ 为整数时，会出现缺级现象。因此，需要计算 $\dfrac {d}{a}=\dfrac {2.10\times {10}^{-6}}{0.7\times {10}^{-3}}=3$，因此 $\pm 3$ 和 $\pm 6$ 级次的谱线将缺失。
步骤 5：确定能看到的谱线级次
根据步骤 4 的结果，能看到的谱线级次为 $1$、$2$、$0$、$-1$、$-2$、$-4$、$-5$，共 $7$ 条。