题目
一个高为l的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a,短轴为-|||-2b的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为 dfrac (3)(2)b 时(如图 1-3--|||-1),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常量ρ,单-|||-位为 /(m)^3. )-|||---|||------ ----------|||------- ----- -------|||------ --------|||------- --------|||------- ----- -------- 3/2b-|||-------- ------|||-" --|||-------|||-------|||-2a
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定椭圆的面积
椭圆的面积公式为 $S = \pi ab$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是椭圆的半长轴和半短轴。由于题目中给出的长轴为 $2a$，短轴为 $2b$，因此半长轴为 $a$，半短轴为 $b$。所以椭圆的面积为 $S = \pi ab$。
步骤 2：计算油面高度为 $\dfrac{3}{2}b$ 时的油面面积
当油面高度为 $\dfrac{3}{2}b$ 时，油面的形状为椭圆的一部分。为了计算这部分面积，我们首先计算位于 $x$ 轴上方的阴影部分的面积 $S_2$。这部分面积可以通过积分计算得到，积分的上下限为 $0$ 到 $\dfrac{3}{2}b$，积分函数为 $2a\sqrt{1-\dfrac{y^2}{b^2}}$。设 $y=b\sin t$，则 $dy=b\cos tdt$，积分变为 $2ab\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\sqrt{1-\sin^2 t}\cos tdt$。由于 $\sqrt{1-\sin^2 t} = \cos t$，所以积分变为 $2ab\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\cos^2 tdt$。利用 $\cos^2 t = \dfrac{1+\cos 2t}{2}$，积分变为 $ab\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(1+\cos 2t)dt$。计算积分得到 $ab(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2})$。
步骤 3：计算油的质量
油的质量等于油的体积乘以油的密度。油的体积等于油面面积乘以柱体的高度 $l$。油面面积为 $S_1 + S_2$，其中 $S_1$ 为椭圆面积的一半，即 $\dfrac{1}{2}\pi ab$。所以油的质量为 $\rho l(S_1 + S_2) = \rho l(\dfrac{1}{2}\pi ab + ab(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}))$。
椭圆的面积公式为 $S = \pi ab$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是椭圆的半长轴和半短轴。由于题目中给出的长轴为 $2a$，短轴为 $2b$，因此半长轴为 $a$，半短轴为 $b$。所以椭圆的面积为 $S = \pi ab$。
步骤 2：计算油面高度为 $\dfrac{3}{2}b$ 时的油面面积
当油面高度为 $\dfrac{3}{2}b$ 时，油面的形状为椭圆的一部分。为了计算这部分面积，我们首先计算位于 $x$ 轴上方的阴影部分的面积 $S_2$。这部分面积可以通过积分计算得到，积分的上下限为 $0$ 到 $\dfrac{3}{2}b$，积分函数为 $2a\sqrt{1-\dfrac{y^2}{b^2}}$。设 $y=b\sin t$，则 $dy=b\cos tdt$，积分变为 $2ab\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\sqrt{1-\sin^2 t}\cos tdt$。由于 $\sqrt{1-\sin^2 t} = \cos t$，所以积分变为 $2ab\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\cos^2 tdt$。利用 $\cos^2 t = \dfrac{1+\cos 2t}{2}$，积分变为 $ab\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(1+\cos 2t)dt$。计算积分得到 $ab(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2})$。
步骤 3：计算油的质量
油的质量等于油的体积乘以油的密度。油的体积等于油面面积乘以柱体的高度 $l$。油面面积为 $S_1 + S_2$，其中 $S_1$ 为椭圆面积的一半，即 $\dfrac{1}{2}\pi ab$。所以油的质量为 $\rho l(S_1 + S_2) = \rho l(\dfrac{1}{2}\pi ab + ab(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}))$。