题目
17.（判断题，5.0分） 若 m > n ，则 m 个 n 维向量必线性相关A. 对B. 错
17.（判断题，5.0分） 若 $ m > n $，则 $ m $ 个 $ n $ 维向量必线性相关
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：理解线性相关性的定义
线性相关性的定义是：一组向量是线性相关的，如果存在一个非平凡的线性组合（即，系数不全为零）使得向量的和为零向量。换句话说，如果向量 $ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m $ 是线性相关的，那么存在标量 $ a_1, a_2, \ldots, a_m $，不全为零，使得： \[ a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_m \mathbf{v}_m = \mathbf{0} \]
步骤 2：理解向量数量与维数的关系
在 $ n $-维空间中，最多有 $ n $ 个线性无关的向量。如果向量的数量 $ m $ 超过维数 $ n $（即，$ m > n $），那么这 $ m $ 个向量必定是线性相关的。这是因为 $ n $-维空间中任何超过 $ n $ 个向量的集合都是线性相关的。
步骤 3：得出结论
鉴于 $ m > n $，在 $ n $-维空间中不可能有 $ m $ 个线性无关的向量。因此， $ m $ 个 $ n $-维向量必线性相关。
线性相关性的定义是：一组向量是线性相关的，如果存在一个非平凡的线性组合（即，系数不全为零）使得向量的和为零向量。换句话说，如果向量 $ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m $ 是线性相关的，那么存在标量 $ a_1, a_2, \ldots, a_m $，不全为零，使得： \[ a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_m \mathbf{v}_m = \mathbf{0} \]
步骤 2：理解向量数量与维数的关系
在 $ n $-维空间中，最多有 $ n $ 个线性无关的向量。如果向量的数量 $ m $ 超过维数 $ n $（即，$ m > n $），那么这 $ m $ 个向量必定是线性相关的。这是因为 $ n $-维空间中任何超过 $ n $ 个向量的集合都是线性相关的。
步骤 3：得出结论
鉴于 $ m > n $，在 $ n $-维空间中不可能有 $ m $ 个线性无关的向量。因此， $ m $ 个 $ n $-维向量必线性相关。