质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r＝2.0ti ＋(19.0 -2.0t2 )j,式中r 的单位为m,t的单位为s．求：(1)质点的轨迹方程；(2) 在t1＝1.0s 到t2 ＝2.0s 时间内的平均速度；(3) t1 ＝1.0ｓ时的速度及切向和法向加速度；(4) t ＝1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ．

1. 轨迹方程：通过消去参数$t$，将$x(t)$和$y(t)$转化为$y$关于$x$的函数。
2. 平均速度：计算位移变化量$\Delta \mathbf{r}$，再除以时间间隔$\Delta t$。
3. 速度与加速度：对运动方程求一阶导数得速度，二阶导数得加速度；切向加速度$a_t$由速度大小的变化率计算，法向加速度$a_n$通过总加速度分解得到。
4. 曲率半径：利用公式$\rho = \dfrac{v^2}{a_n}$，需先求速度大小$v$和法向加速度$a_n$。

第（1）题

参数方程消去$t$

由$x = 2.0t$得$t = \dfrac{x}{2.0}$，代入$y = 19.0 - 2.0t^2$：
$y = 19.0 - 2.0 \left( \dfrac{x}{2.0} \right)^2 = 19.0 - 0.5x^2$

第（2）题

计算位移变化量

$t_1=1.0\,\text{s}$时，$\mathbf{r}_1 = 2.0 \cdot 1.0 \,\mathbf{i} + (19.0 - 2.0 \cdot 1.0^2) \,\mathbf{j} = 2.0\,\mathbf{i} + 17.0\,\mathbf{j}\,\text{m}$
$t_2=2.0\,\text{s}$时，$\mathbf{r}_2 = 2.0 \cdot 2.0 \,\mathbf{i} + (19.0 - 2.0 \cdot 2.0^2) \,\mathbf{j} = 4.0\,\mathbf{i} + 11.0\,\mathbf{j}\,\text{m}$
位移差：$\Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 = 2.0\,\mathbf{i} - 6.0\,\mathbf{j}\,\text{m}$
平均速度：$\overline{\mathbf{v}} = \dfrac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t} = \dfrac{2.0\,\mathbf{i} - 6.0\,\mathbf{j}}{1.0} = 2.0\,\mathbf{i} - 6.0\,\mathbf{j}\,\text{m/s}$

第（3）题

求速度与加速度

速度：$\mathbf{v}(t) = \dfrac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = 2.0\,\mathbf{i} - 4.0t\,\mathbf{j}\,\text{m/s}$
$t=1.0\,\text{s}$时，$\mathbf{v} = 2.0\,\mathbf{i} - 4.0\,\mathbf{j}\,\text{m/s}$
加速度：$\mathbf{a}(t) = \dfrac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2} = -4.0\,\mathbf{j}\,\text{m/s}^2$

切向加速度$a_t$

速度大小：$v = \sqrt{(2.0)^2 + (-4.0)^2} = \sqrt{20} \approx 4.47\,\text{m/s}$
$a_t = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \dfrac{16t}{\sqrt{4 + 16t^2}}$，代入$t=1.0$得$a_t \approx 3.58\,\text{m/s}^2$

法向加速度$a_n$

总加速度大小：$|\mathbf{a}| = 4.0\,\text{m/s}^2$
$a_n = \sqrt{a^2 - a_t^2} = \sqrt{4.0^2 - 3.58^2} \approx 1.79\,\text{m/s}^2$

第（4）题

曲率半径公式

$\rho = \dfrac{v^2}{a_n} = \dfrac{(4.47)^2}{1.79} \approx 11.2\,\text{m}$