题目
16.(判断题)n元齐次线性方程组AX=0,当r(A)=n时,该方程组只有零解.A. 对B. 错
16.(判断题)n元齐次线性方程组AX=0,当r(A)=n时,该方程组只有零解.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：理解齐次线性方程组的定义
齐次线性方程组是指形如 $AX = 0$ 的方程组，其中 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，$X$ 是一个 $n \times 1$ 的列向量，$0$ 是一个 $m \times 1$ 的零向量。齐次线性方程组总是有一个解，即零解 $X = 0$。
步骤 2：理解矩阵秩的含义
矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$ 是指矩阵 $A$ 的列向量组的最大线性无关组的个数。当 $r(A) = n$ 时，表示矩阵 $A$ 的列向量组线性无关，即矩阵 $A$ 的列向量组构成一个 $n$ 维空间的基。
步骤 3：分析齐次线性方程组的解
对于 $n$ 元齐次线性方程组 $AX = 0$，当 $r(A) = n$ 时，矩阵 $A$ 的列向量组线性无关，这意味着方程组的解空间的维数为 $n - r(A) = n - n = 0$。因此，方程组只有零解。
齐次线性方程组是指形如 $AX = 0$ 的方程组，其中 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，$X$ 是一个 $n \times 1$ 的列向量，$0$ 是一个 $m \times 1$ 的零向量。齐次线性方程组总是有一个解，即零解 $X = 0$。
步骤 2：理解矩阵秩的含义
矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$ 是指矩阵 $A$ 的列向量组的最大线性无关组的个数。当 $r(A) = n$ 时，表示矩阵 $A$ 的列向量组线性无关，即矩阵 $A$ 的列向量组构成一个 $n$ 维空间的基。
步骤 3：分析齐次线性方程组的解
对于 $n$ 元齐次线性方程组 $AX = 0$，当 $r(A) = n$ 时，矩阵 $A$ 的列向量组线性无关，这意味着方程组的解空间的维数为 $n - r(A) = n - n = 0$。因此，方程组只有零解。