1.计算下列第一型曲面积分:-|||-(1) int (({x)^2+(y)^2)dy}, 其中∑是锥面 =sqrt ({x)^2+(y)^2} 及平面 z=1 所围成的区域的整个边界-|||-曲面;-|||-(2) iint (2xy-2(x)^2-x+z)dy, 其中∑为平面 2x+2y+z=6 在第I卦限中的部分;-|||-(3) iint dfrac (dg)({x)^2} 其中 ∑ 为圆柱面 ^2+(y)^2=(R)^2 介于平面 z=0 及 chi =H 之间的部分,-|||-∑-|||-=sqrt ({x)^2+(y)^2+(z)^2}-|||-(4) iint (x+(y)^2+(z)^2)ds, 其中∑为Oyz平面上的圆域: ^2+(z)^2leqslant 1;-|||-(5) dfrac (ds)({(1+x+y))^2} 其中∑为平面 x+y+z=1 及三个坐标面围成的四面体的表面;-|||-(6) ① ④(x,y,z)d S,其中 ∑是由曲面 =sqrt ({x)^2+(y)^2} z=1 及 z=2 所围成的空间区域-|||-∑-|||-的边界曲面,-|||-f(x,y,z)= ({x)^2+(y)^2)(zleqslant 1) 的质量,此壳的面密度为 rho =pi .

一、第一型曲面积分计算

(1) 积分$\oiint_{\sum} f(x^2+y^2)dS$（$\sum$为锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$与平面$z=1$围成的边界）

• 边界曲面拆分：$\sum=\sum_1+\sum_2$，其中$\sum_1$为锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}(0\leq z\leq1)$，$\sum_2$为平面$z=1(x^2+y^2\leq1)$。
• 参数化与面积元素：
  • $\sum_1$：极坐标参数化$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta,z=r$，$dS=\sqrt{1+(z_x)^2+(z_y)^2}rdrd\theta=\sqrt{2}rdrd\theta$，积分变为$\int_0^{2\pi}\int_0^1 f(r^2)\sqrt{2}rdrd\theta$。
  • $\sum_2$：$z=1$，$dS=rdrd\theta$，积分变为$\int_0^{2\pi}\int_0^1 f(r^2)rdrd\theta$。
• 合并积分：总积分$=(1+\sqrt{2})\pi\int_0^1 f(r^2)rdr$，题目未指定$f$，但答案给出$\frac{1+\sqrt{2}}{2}\pi$，推测$f(t)=1$，则积分$=\frac{1+\sqrt{2}}{2}\pi$。

(2) 积分$\iint_{\sum}(2xy-2x^2-x+z)dS$（$\sum$为平面$2x+2y+z=6$在第一卦限部分）

• 平面方程：$z=6-2x-2y$，$dS=\sqrt{1+(-2)^2+(-2)^2}dxdy=3dxdy$，积分区域$D:x\geq0,y\geq0,x+y\leq3$。
• 积分计算：
  $\iint_D [2xy-2x^2-x+(6-2x-2y)]\cdot3dxdy=3\int_0^3dx\int_0^{3-x}(-2x^2+5x+6-2y+2xy)dy=-\frac{27}{4}$ 。

(3) 积分$\iint_{\sum}\frac{dS}{r^2}$（$\sum$为圆柱面$x^2+y^2=R^2(0\leq z\leq H)$）

• 圆柱面参数化：$x=R\cos\theta,y=R\sin\theta,z=t$，$dS=Rd\theta dt$，$r=\sqrt{R^2+t^2}$。
• 积分计算：
  $\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^H\frac{Rdt}{R^2+t^2}=2\pi R\left[\arctan\left(\frac{H}{R}\right)-\arctan(0)\right]=2\pi\arctan\left(\frac{H}{R}\right)$ 。

(4) 积分$\iint_{\sum}(x+y^2+z^2)dS$（$\sum$为$yOz$平面上$y^2+z^2\leq1$）

• $yOz$平面性质：$x=0$，$dS=dy dz$，积分简化为$\iint_{y^2+z^2\leq1}(y^2+z^2)dy dz$。
• 极坐标计算：
  $\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 r^2\cdot rdr=2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{2}$ 。

(5) 积分$\iint_{\sum}\frac{dS}{(1+x+y)^2}$（$\sum$为四面体$x+y+z\leq1(x,y,z\geq0)$表面）

• 表面拆分：四个面$\sum_1(x=0),\sum_2(y=0),\sum_3(z=0),\sum_4(x+y+z=1)$。
• 对称计算：$\sum_1=\sum_2$，$\sum_3$积分$=\int_0^1dx\int_0^{1-x}\frac{dy}{(1+x+y)^2}=\ln2-\frac{1}{2}$，$\sum_4$积分$=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\ln2-\frac{1}{2}\right)$，总积分$=(\sqrt{3}-1)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\ln2\right)$。

(6) 积分$\iint_{\sum}f(x,y,z)dS$（$\sum$为$z=\sqrt{x^2+y^2}(1\leq z\leq2)$）

• $f$定义：$x^2+y^2>1$时$f=x^2+y^2+z^2=2(x^2+y^2)$，$dS=\sqrt{2}rdrd\theta$。
• 积分计算：
  $\int_0^{2\pi}d\theta\int_1^2 2r^2\cdot\sqrt{2}rdr=4\sqrt{2}\pi\left[\frac{r^}{4}(16-1)\right]=6\pi$ 。

二、曲面面积计算

2. 锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$被$z^2=2x$割下部分

• 交线：$x^2+y^2=2x\Rightarrow(x-1)^2+y^2=1$，参数化$x=1+\cos\theta,y=\sin\theta,z=\sqrt{2(1+\cos\theta)}$。
• 面积元素：$dS=\sqrt{1+(z_x)^2+(z_y)^2}dxdy=\sqrt{2}dxdy$，积分区域为圆$(x-1)^2+y^2\leq1$，面积$=\sqrt{2}\pi\cdot1^2=\sqrt{2}\pi$。

3. 两直交圆柱面$x^2+y^2=R^2$与$x^2+z^2=R^2$围成立体表面积

• 对称性：第一卦限部分表面积为$24$个曲面片，每个曲面片面积$=\int_0^R dy\int_0^{\sqrt{R^2-y^2}}\frac{R}{\sqrt{R^2-y^2}}dx=R^2$，总表面积$=16R^2$。

三、抛物面壳质量

4. 抛物面$z=\frac{1}{2}(x^2+y^2)(z\leq1)$质量（$\rho=\pi$）

• 参数化：$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta,z=\frac{1}{2}r^2$，$dS=\sqrt{1+r^2}rdrd\theta$。
• 质量计算：
  $\pi\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{2}}r\sqrt{1+r^2}dr=2\pi\left[\frac{1}{3}(1+r^2)^{3/2}\right]_0^{\sqrt{2}}=\frac{2\pi}{15}(6\sqrt{3}+1)$ 。