单选题（共30题，90.0分） 17.（3.0分） 若 向 量 组 alpha_(1)=(1,2,3)^T,alpha_(2)=(2,3,4)^T,alpha_(3)=(4,5,k)^T线性相关，则k的取值为（）.A. 6B. 7C. 5D. 4

本题考察向量组线性相关的判定方法，关键思路是：n个n维向量线性相关的充要条件是它们构成的矩阵的行列式等于0。

步骤1：构造矩阵并计算行列式

给定三个3维向量$\alpha_1=(1,2,3)^T,\alpha_2=(2,3,4)^T,\alpha_3=(4,5,k)^T$，将它们作为列向量构成矩阵$A$：
$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\2 & 3 & 5 \\3 & 4 & k\end{pmatrix}$
向量组线性相关等价于$\det(A)=0$，计算行列式：
$\det(A)=\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\2 & 3 & 5 \\3 & 4 & k\end{vmatrix}$

步骤2：展开行列式

按第一行展开：
$\det(A)=1\cdot\begin{vmatrix}3 & 5 \\ 4 & k\end{vmatrix} - 2\cdot\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 3 & k\end{vmatrix} + 4\cdot\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 3 & 4\end{vmatrix}$
计算各二阶行列式：

• $\begin{vmatrix}3 & 5 \\ 4 & k\end{vmatrix}=3k - 20$
• $\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 3 & k\end{vmatrix}=2k - 15$
• $\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 3 & 4\end{vmatrix}=8 - 9=-1$

步骤3：化简并解方程

代入得：
$\det(A)=1\cdot(3k - 20) - 2\cdot(2k - 15) + 4\cdot(-1)$
$=3k - 20 - 4k + 30 - 4 = -k + 6$
令$\det(A)=0$，解得$k=6$。