2.函数 =dfrac (sqrt {9-{x)^2}}(ln (x+1)) 的定义域 ()-|||-A. (-1,3) B. (-1,3] C.(-1,0)∪ (0,3) D. (-1,0)cup (0,3] ,

本题考查函数定义域的求解，解题的关键在于根据函数中根式、对数以及分式的性质分别确定自变量的取值范围，最后取它们的交集。

步骤一：分析函数中根式的取值范围

对于根式$\sqrt{9 - x^2}$，根据二次根式的性质，被开方数须大于等于$0$，即：
$9 - x^2 \geq 0$
移项可得$x^2 - 9 \leq 0$，因式分解为$(x + 3)(x - 3) \leq 0$。
要使得$(x + 3)(x - 3) \leq 0$成立，则$x + 3$与$x - 3$异号，可分两种情况讨论：

• 当$x + 3 \geq 0$且$x - 3 \leq 0$时，即$x \geq -3$且$x \leq 3$，此时$-3 \leq x \leq 3$。
• 当$x + 3 \leq 0$且$x - 3 \geq 0$时，即$x \leq -3$且$x \geq 3$，此时无解。

所以，由根式的性质可得$-3 \leq x \leq 3$。

步骤二：分析函数中对数的取值范围

对于对数$\ln(x + 1)$，根据对数函数的性质，真数须大于$0$，即：
$x + 1 > 0$
解得$x > -1$。

步骤三：分析函数中分式的取值范围

对于分式$\dfrac{\sqrt{9 - x^2}}{\ln(x + 1)}$，根据分式的性质，分母不能为$0$，即：
$\ln(x + 1) \neq 0$
因为$\ln1 = 0$，所以$x + 1 \neq 1$，解得$x \neq 0$。

步骤四：求函数的定义域

综合以上三个条件，取它们的交集，即同时满足$-3 \leq x \leq 3$，$x > -1$，$x \neq 0$，可得$-1 < x < 0$或$0 < x \leq 3$，用区间表示为$(-1,0)\cup (0,3]$。