设 C 为正向圆周 |z+1|=2，n 为正整数，则积分 oint_(C) (dz)/((z-i)^n+1) 等于（ ）。A. 1；B. 2pi i；C. 0；D. (1)/(2pi i)

我们来逐步分析并求解这个复变函数的积分问题。

题目：

设 $ C $ 为正向圆周 $ |z + 1| = 2 $，$ n $ 为正整数，求积分：

$\oint_{C} \frac{dz}{(z - i)^{n+1}}$

选项为：

A. 1；
B. $ 2\pi i $；
C. 0；
D. $ \frac{1}{2\pi i} $

第一步：理解积分路径 $ C $

路径 $ C $ 是正向（即逆时针方向）的圆周，满足：

$|z + 1| = 2$

这表示以 $ -1 $ 为圆心，半径为 2 的圆。

我们可以画出这个圆的大致位置：

• 圆心：$ z = -1 $
• 半径：2
• 所以这个圆从 $ z = -3 $ 延伸到 $ z = 1 $（实轴上），虚轴方向从 $ -2i $ 到 $ 2i $

第二步：判断奇点 $ z = i $ 是否在 $ C $ 内部

被积函数是：

$f(z) = \frac{1}{(z - i)^{n+1}}$

其唯一奇点是 $ z = i $，这是一个 $ n+1 $ 阶的极点。

我们需要判断 $ z = i $ 是否在积分路径 $ C $ 所围成的区域内部。

计算 $ z = i $ 到圆心 $ z = -1 $ 的距离：

$|i - (-1)| = |i + 1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.414 < 2$

因为距离小于半径 2，所以 $ z = i $ 在圆 $ C $ 的内部。

第三步：使用复积分的柯西积分公式或导数公式

我们回忆柯西积分公式的高阶导数形式：

若 $ f(z) $ 在闭曲线 $ C $ 及其内部解析，则对 $ C $ 内任一点 $ a $，有：

$f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - a)^{n+1}} dz$

反过来，我们可以写成：

$\oint_C \frac{f(z)}{(z - a)^{n+1}} dz = \frac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(a)$

但在本题中，被积函数是：

$\frac{1}{(z - i)^{n+1}} = \frac{1}{(z - i)^{n+1}} \cdot 1$

即相当于 $ f(z) = 1 $，$ a = i $，积分形式为：

$\oint_C \frac{1}{(z - i)^{n+1}} dz = \oint_C \frac{f(z)}{(z - i)^{n+1}} dz \quad \text{其中 } f(z) = 1$

而常数函数 $ f(z) = 1 $ 在整个复平面上解析，当然在 $ C $ 内部及其上解析。

因此可以应用高阶导数公式：

$\oint_C \frac{1}{(z - i)^{n+1}} dz = \frac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(i)$

但 $ f(z) = 1 $，它的任意阶导数都是 0（当 $ n \geq 1 $ 时）。

注意：这里的 $ n $ 是正整数，即 $ n \geq 1 $，所以 $ n $ 阶导数为 0。

因此：

$f^{(n)}(i) = 0 \quad \Rightarrow \quad \oint_C \frac{1}{(z - i)^{n+1}} dz = \frac{2\pi i}{n!} \cdot 0 = 0$

第四步：得出结论

所以，对于任意正整数 $ n $，该积分值为：

$\boxed{0}$

最终答案：

$\boxed{\text{C. } 0}$

补充说明：

• 当 $ n = 0 $ 时，积分变为 $ \oint_C \frac{1}{z - i} dz = 2\pi i $，这是柯西积分公式的基本情形。
• 但题目中 $ n $ 是正整数，即 $ n \geq 1 $，所以 $ n+1 \geq 2 $，对应的是高阶导数，而常数函数的高阶导数为零，故积分为零。

✅ 答案：C. 0