题目
15.设}x_(1)+2x_(2)+x_(3)=12x_(1)+3x_(2)+(a+2)x_(3)=3x_(1)+ax_(2)-2x_(3)=0，讨论a取何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷多解；并在方程组有无穷多解时，求出它的通解.
15.设$\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+x_{3}=1\\2x_{1}+3x_{2}+(a+2)x_{3}=3\\x_{1}+ax_{2}-2x_{3}=0\end{cases}$，讨论a取何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷多解；并在方程组有无穷多解时，求出它的通解.
题目解答
答案
将方程组的增广矩阵进行行初等变换：
\[
B = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 1 \\
2 & 3 & a+2 & 3 \\
1 & a & -2 & 0
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -a & -1 \\
0 & 0 & (a-3)(a+1) & a-3
\end{pmatrix}
\]
**解的情况分析：**
1. **唯一解：**
当 $(a-3)(a+1) \neq 0$，即 $a \neq 3$ 且 $a \neq -1$ 时，系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，方程组有唯一解。
2. **无穷多解：**
当 $a = 3$ 时，增广矩阵化为
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -3 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
秩为2，等于系数矩阵的秩，方程组有无穷多解。通解为
\[
\boxed{\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}}
\]
3. **无解：**
当 $a = -1$ 时，增广矩阵化为
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & -4
\end{pmatrix}
\]
出现矛盾方程 $0 = -4$，方程组无解。
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{当 } a \neq 3 \text{ 且 } a \neq -1 \text{ 时，有唯一解；} \\
\text{当 } a = 3 \text{ 时，有无穷多解，通解为 } \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}； \\
\text{当 } a = -1 \text{ 时，无解。}
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：将方程组的增广矩阵进行行初等变换
将方程组的增广矩阵进行行初等变换，得到：
\[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 & 3 \\ 1 & a & -2 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -a & -1 \\ 0 & 0 & (a-3)(a+1) & a-3 \end{pmatrix} \]
步骤 2：分析方程组解的情况
1. **唯一解：** 当 $(a-3)(a+1) \neq 0$，即 $a \neq 3$ 且 $a \neq -1$ 时，系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，方程组有唯一解。
2. **无穷多解：** 当 $a = 3$ 时，增广矩阵化为
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
秩为2，等于系数矩阵的秩，方程组有无穷多解。通解为
\[ \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \]
3. **无解：** 当 $a = -1$ 时，增广矩阵化为
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \]
出现矛盾方程 $0 = -4$，方程组无解。
将方程组的增广矩阵进行行初等变换，得到：
\[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 & 3 \\ 1 & a & -2 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -a & -1 \\ 0 & 0 & (a-3)(a+1) & a-3 \end{pmatrix} \]
步骤 2：分析方程组解的情况
1. **唯一解：** 当 $(a-3)(a+1) \neq 0$，即 $a \neq 3$ 且 $a \neq -1$ 时，系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，方程组有唯一解。
2. **无穷多解：** 当 $a = 3$ 时，增广矩阵化为
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
秩为2，等于系数矩阵的秩，方程组有无穷多解。通解为
\[ \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \]
3. **无解：** 当 $a = -1$ 时，增广矩阵化为
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \]
出现矛盾方程 $0 = -4$，方程组无解。