题目

假设一个袋子中有10个一元硬币,其中9个是正常的,一面国徽,一面花,1个两面都是国徽。你从袋子中随机取出一个硬币,投掷10次,得到了10个国徽,求下次投掷结果是国徽的概率多少?

题目解答

首先明确取出的硬币有两种情况，正常硬币和两面都是国徽的硬币。已知投掷 10 次都是国徽，需要根据这个条件来计算下次投掷是国徽的概率。利用贝叶斯定理来求解这个条件概率。

设事件A为取出的是两面都是国徽的硬币，事件B为投掷 10 次都是国徽。

$P(A)=\frac{1}{10}，P(\overline{A})=\frac{9}{10}。$

$P(B|A)=1，P(B|\overline{A})=\frac{1}{2^{10}}。$

根据贝叶斯定理， $P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})}$

$=\frac{\frac{1}{10}×1}{\frac{1}{10}×1+\frac{9}{10}×\frac{1}{2^{10}}}$

$=\frac{2^{10}}{2^{10}+9}$

那么下次投掷是国徽的概率为 $P(B|A)×P(A|B)+P(B|\overline{A})×P(\overline{A}|B)$

$1×\frac{2^{10}}{2^{10}+9}+\frac{1}{2}×(1-\frac{2^{10}}{2^{10}+9})$

$=\frac{2^{10}}{2^{10}+9}+\frac{2^{10}+9-2^{10}}{2(2^{10}+9)}$

$=\frac{2^{11}+2^{10}+9-2^{10}}{2(2^{10}+9)}$

$=\frac{2^{11}+9}{2(2^{10}+9)}$

综上所述，下次投掷结果是国徽的概率为 $\frac{2^{11}+9}{2(2^{10}+9)}$