题目
52.现有一段长为16cm的铁丝,要把它折成两段,做成两个正方形,问当这两个正方形的面积之-|||-和最小时,它们的边长分别为多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：设两个正方形的边长
设第一个正方形的边长为 \(a\)，第二个正方形的边长为 \(b\)。由于铁丝的总长度为16cm，所以有 \(4a + 4b = 16\)，即 \(a + b = 4\)。
步骤 2：表示两个正方形的面积之和
两个正方形的面积之和为 \(S = a^2 + b^2\)。由于 \(b = 4 - a\)，所以 \(S = a^2 + (4 - a)^2\)。
步骤 3：求面积之和的最小值
将 \(S = a^2 + (4 - a)^2\) 展开，得到 \(S = a^2 + 16 - 8a + a^2 = 2a^2 - 8a + 16\)。这是一个关于 \(a\) 的二次函数，其开口向上，所以当 \(a = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2\) 时，\(S\) 取得最小值。
步骤 4：确定两个正方形的边长
当 \(a = 2\) 时，\(b = 4 - a = 4 - 2 = 2\)。所以，当两个正方形的边长都为2cm时，它们的面积之和最小。
设第一个正方形的边长为 \(a\)，第二个正方形的边长为 \(b\)。由于铁丝的总长度为16cm，所以有 \(4a + 4b = 16\)，即 \(a + b = 4\)。
步骤 2：表示两个正方形的面积之和
两个正方形的面积之和为 \(S = a^2 + b^2\)。由于 \(b = 4 - a\)，所以 \(S = a^2 + (4 - a)^2\)。
步骤 3：求面积之和的最小值
将 \(S = a^2 + (4 - a)^2\) 展开，得到 \(S = a^2 + 16 - 8a + a^2 = 2a^2 - 8a + 16\)。这是一个关于 \(a\) 的二次函数，其开口向上，所以当 \(a = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2\) 时，\(S\) 取得最小值。
步骤 4：确定两个正方形的边长
当 \(a = 2\) 时，\(b = 4 - a = 4 - 2 = 2\)。所以，当两个正方形的边长都为2cm时，它们的面积之和最小。