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题目

设A,B是A,B阶方阵，其中A,B对称，则以下矩阵中不是对称矩阵的是（）(A,B为A,B阶单位矩阵)A,BA,BA,BA,B

设 $A,B$ 是 $n$ 阶方阵，其中 $A$ 对称，则以下矩阵中不是对称矩阵的是（）

( $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵)

$A.\ BA+AB^T$

$B.\ BA-AB^T$

$C.\ B\left(A+E\right)B^T$

$D.\ A-BB^T$

题目解答

答案

因为 $A$ 对称，所以 $A^T=A$ .

$A$ 选项， $\left(BA+AB^T\right)^T=\left(BA\right)^T+\left(AB^T\right)^T$

$=A^TB^T+BA^T=AB^T+BA=BA+AB^T$

所以该矩阵为对称矩阵；

$B$ 选项， $\left(BA-AB^T\right)^T=\left(BA\right)^T-\left(AB^T\right)^T$

$=A^TB^T-BA^T=AB^T-BA\ne BA-AB^T$

所以该矩阵不是对称矩阵；

$C$ 选项， $\left(B\left(A+E\right)B^T\right)^T=B\left(A+E\right)^TB^T$

$=B\left(A^T+E^T\right)B^T=B\left(A+E\right)B^T$

所以该矩阵为对称矩阵；

$D$ 选项， $\left(A-BB^T\right)^T=A^T-\left(BB^T\right)^T=A^T-\left(B^T\right)^TB^T$

$=A-BB^T$ ,

所以该矩阵为对称矩阵.

故本题答案为： $B$ .

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