题目
17.设有向量组A:alpha_(1)=(1,2,1,3)^T,alpha_(2)=(-1,-1,0,-1)^T,alpha_(3)=(1,-3,-4,-7)^T,alpha_(4)=(2,1,-1,0)^T,试求向量组A的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组表示出来。
17.设有向量组$A:\alpha_{1}=(1,2,1,3)^{T},\alpha_{2}=(-1,-1,0,-1)^{T},$
$\alpha_{3}=(1,-3,-4,-7)^{T},\alpha_{4}=(2,1,-1,0)^{T},$试求向量组A的秩和一个
极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组表示出来。
题目解答
答案
将向量组构成矩阵 $ A $，进行初等行变换化为行最简形：
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 2 \\
2 & -1 & -3 & 1 \\
1 & 0 & -4 & -1 \\
3 & -1 & -7 & 0
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -4 & -1 \\
0 & 1 & -5 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
**答案：**
- **秩**：2
- **极大线性无关组**：$\alpha_1, \alpha_2$
- **表示**：$\alpha_3 = -4\alpha_1 - 5\alpha_2$，$\alpha_4 = -\alpha_1 - 3\alpha_2$
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{秩:} & 2 \\
\text{极大线性无关组:} & \alpha_1, \alpha_2 \\
\text{表示:} & \alpha_3 = -4\alpha_1 - 5\alpha_2, \quad \alpha_4 = -\alpha_1 - 3\alpha_2
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：构造矩阵
构造矩阵 $A$，其列向量为向量组 $A$ 中的向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$。
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & -3 & 1 \\ 1 & 0 & -4 & -1 \\ 3 & -1 & -7 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 2：初等行变换
对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化为行最简形。
\[ A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 3：确定秩和极大线性无关组
根据行最简形矩阵，确定向量组 $A$ 的秩和一个极大线性无关组。
- 向量组 $A$ 的秩为 2。
- 极大线性无关组为 $\alpha_1, \alpha_2$。
- 其余向量用极大线性无关组表示：$\alpha_3 = -4\alpha_1 - 5\alpha_2$，$\alpha_4 = -\alpha_1 - 3\alpha_2$。
构造矩阵 $A$，其列向量为向量组 $A$ 中的向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$。
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & -3 & 1 \\ 1 & 0 & -4 & -1 \\ 3 & -1 & -7 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 2：初等行变换
对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化为行最简形。
\[ A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 3：确定秩和极大线性无关组
根据行最简形矩阵，确定向量组 $A$ 的秩和一个极大线性无关组。
- 向量组 $A$ 的秩为 2。
- 极大线性无关组为 $\alpha_1, \alpha_2$。
- 其余向量用极大线性无关组表示：$\alpha_3 = -4\alpha_1 - 5\alpha_2$，$\alpha_4 = -\alpha_1 - 3\alpha_2$。