27.（2023 浙江）设函数f(x)=tan x-20，则f'((pi)/(4))=（ ）A. 2B. 0C. -18D. -20

本题考查导数的基本运算以及常见函数的求导公式。解题思路是先根据求导公式求出函数$f(x)=\tan x - 20$的导数$f^\prime(x)$，再将$x = \frac{\pi}{4}$代入$f^\prime(x)$中计算出$f^\prime(\frac{\pi}{4})$的值。

步骤一：求$\tan x$的导数

根据三角函数关系$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$，根据除法求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$（其中$u = \sin x$，$v = \cos x$）。
对$u = \sin x$求导，根据求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$，可得$u^\prime=\cos x$；
对$v = \cos x$求导，根据求导公式$(\cos x)^\prime=-\sin x$，可得$v^\prime=-\sin x$。
将$u$、$v$、$u^\prime$、$v^\prime$代入除法求导公式可得：
$(\tan x)^\prime = (\frac{\sin x}{\cos x})^\prime=\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}$
根据三角函数的平方关系$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，对上式进行化简：
$\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}$

步骤二：求函数$f(x)$的导数

已知$f(x)=\tan x - 20$，根据求导的减法法则$(u - v)^\prime = u^\prime - v^\prime$，其中$u = \tan x$，$v = 20$。
因为常数的导数为$0$，即$(20)^\prime = 0$，$(\tan x)^\prime=\frac{1}{\cos^2 x}$，所以$f^\prime(x)=(\tan x - 20)^\prime = (\tan x)^\prime - (20)^\prime=\frac{1}{\cos^2 x}-0=\frac{1}{\cos^2 x}$。

步骤三：计算$f^\prime(\frac{\pi}{4})$的值

将$x = \frac{\pi}{4}$代入$f^\prime(x)=\frac{1}{\cos^2 x}$中，可得：
$f^\prime(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\cos^2\frac{\pi}{4}}$
因为$\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\cos^2\frac{\pi}{4}=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
则$f^\prime(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$。