2【判断题】两直线(x-4)/(2)=(y+1)/(3)=(z+2)/(5)与(x+1)/(-3)=(y-1)/(2)=(z-3)/(4)为异面直线。A 对B 错

为了判断两条直线 $\frac{x-4}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z+2}{5}$ 与 $\frac{x+1}{-3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-3}{4}$ 是否为异面直线，我们需要检查它们是否平行或相交。如果它们既不平行也不相交，那么它们就是异面直线。 ### 步骤1：确定直线的方向向量 第一条直线 $\frac{x-4}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z+2}{5}$ 的方向向量为 $\mathbf{d_1} = (2, 3, 5)$。 第二条直线 $\frac{x+1}{-3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-3}{4}$ 的方向向量为 $\mathbf{d_2} = (-3, 2, 4)$。 ### 步骤2：检查直线是否平行 两条直线平行当且仅当它们的方向向量是标量倍数。即存在一个标量 $k$ 使得 $\mathbf{d_1} = k \mathbf{d_2}$。 假设 $\mathbf{d_1} = k \mathbf{d_2}$，则有： \[ (2, 3, 5) = k (-3, 2, 4) \] 这将导致以下方程组： \[ 2 = -3k \] \[ 3 = 2k \] \[ 5 = 4k \] 解第一个方程得 $k = -\frac{2}{3}$。 解第二个方程得 $k = \frac{3}{2}$。 解第三个方程得 $k = \frac{5}{4}$。 由于 $k$ 的值不一致，因此 $\mathbf{d_1}$ 和 $\mathbf{d_2}$ 不是标量倍数，所以两条直线不平行。 ### 步骤3：检查直线是否相交 两条直线相交当且仅当存在参数 $t$ 和 $s$ 使得直线上的点重合。即存在 $t$ 和 $s$ 满足： \[ 4 + 2t = -1 - 3s \] \[ -1 + 3t = 1 + 2s \] \[ -2 + 5t = 3 + 4s \] 我们解这个方程组。首先，解第一个方程： \[ 4 + 2t = -1 - 3s \] \[ 2t + 3s = -5 \quad \text{(方程1)} \] 接下来，解第二个方程： \[ -1 + 3t = 1 + 2s \] \[ 3t - 2s = 2 \quad \text{(方程2)} \] 最后，解第三个方程： \[ -2 + 5t = 3 + 4s \] \[ 5t - 4s = 5 \quad \text{(方程3)} \] 我们使用方程1和方程2消去 $s$。将方程1乘以2，方程2乘以3： \[ 4t + 6s = -10 \quad \text{(方程1')} \] \[ 9t - 6s = 6 \quad \text{(方程2')} \] 将方程1'和方程2'相加： \[ 13t = -4 \] \[ t = -\frac{4}{13} \] 将 $t = -\frac{4}{13}$ 代入方程1： \[ 2 \left( -\frac{4}{13} \right) + 3s = -5 \] \[ -\frac{8}{13} + 3s = -5 \] \[ 3s = -5 + \frac{8}{13} \] \[ 3s = -\frac{65}{13} + \frac{8}{13} \] \[ 3s = -\frac{57}{13} \] \[ s = -\frac{19}{13} \] 现在将 $t = -\frac{4}{13}$ 和 $s = -\frac{19}{13}$ 代入方程3： \[ 5 \left( -\frac{4}{13} \right) - 4 \left( -\frac{19}{13} \right) = 5 \] \[ -\frac{20}{13} + \frac{76}{13} = 5 \] \[ \frac{56}{13} \neq 5 \] 由于 $t = -\frac{4}{13}$ 和 $s = -\frac{19}{13}$ 不满足方程3，因此两条直线不相交。 ### 结论 由于两条直线既不平行也不相交，它们是异面直线。因此，答案是： \[ \boxed{A} \]