如图①，AD平分∠BAC.∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC.(1)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC.(2)如图③，在四边形ABDC中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC，DE⊥AB，且BE=a，求AB-AC的值.(用含a的代数式表示)C-|||-C D-|||-D C D-|||-A B A B A E B-|||-图① 图② 图③
如图①，AD平分∠BAC.∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC.
(1)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC.
(2)如图③，在四边形ABDC中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC，DE⊥AB，且BE=a，求AB-AC的值.(用含a的代数式表示)
题目解答
答案
(1)证明：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
角平分线上的点到两边的距离相等
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD.
同角(等角)的补角相等
在△DFC和△DEB中，
⎧⎪⎨⎪⎩∠F=∠DEB=90°∠FCD=∠BDF=DB，
∴△DFC≌△DEB，
全等三角形的判定(AAS)
∴DC=DB.
全等三角形的性质
(2)解：如图，连接AD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD.
同角(等角)的补角相等
在△DFC和△DEB中，
⎧⎪⎨⎪⎩∠F=∠DEB=90°∠FCD=∠BDC=DB，
∴△DFC≌△DEB，
全等三角形的判定(AAS)
∴DF=DE，CF=BE，
全等三角形的性质
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
{AD=ADDE=DF，
HL定理
∴△ADF≌△ADE，
∴AF=AE，
全等三角形的性质
∴AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=AE+BE-AF+CF=BE+CF=2BE=2a.
解析
考查要点：本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、垂直关系的应用，以及代数式的几何意义转化。
解题思路：
- 第（1）题：通过构造垂直辅助线，利用角平分线性质得到相等的高，结合补角关系证明三角形全等，从而得到边相等。
- 第（2）题：通过连接对角线构造全等三角形，结合垂直关系和勾股定理，将线段差转化为已知量的代数表达。
破题关键：
- 角平分线+垂直⇒距离相等（第1题核心）
- 补角相等⇒角度转化（全等条件的关键）
- 线段差拆分⇒利用对称性简化表达（第2题核心）
第（1）题
作垂直辅助线
作$DE \perp AB$于$E$，$DF \perp AC$于$F$，利用角平分线性质得$DE=DF$。
角度转化
由$\angle ABD + \angle ACD = 180^\circ$，结合$\angle ACD + \angle FCD = 180^\circ$，得$\angle ABD = \angle FCD$。
证明三角形全等
在$\triangle DFC$与$\triangle DEB$中：
- $\angle F = \angle DEB = 90^\circ$（垂直）
- $\angle FCD = \angle ABD$（已证）
- $DF = DE$（角平分线性质）
由AAS判定得$\triangle DFC \cong \triangle DEB$，故$DC = DB$。
第（2）题
连接对角线并作垂线
连接$AD$，作$DE \perp AB$于$E$，$DF \perp AC$于$F$，同理得$DE=DF$。
全等三角形性质
由$\triangle DFC \cong \triangle DEB$得$CF = BE = a$，且$\triangle ADF \cong \triangle ADE$（HL），故$AF = AE$。
线段差转化
$\begin{aligned}AB - AC &= (AE + BE) - (AF - CF) \\&= AE + BE - AF + CF \\&= BE + CF \quad (\because AF = AE) \\&= a + a = 2a\end{aligned}$