题目
设 a < c < b，函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内二阶可导，且 f(a) = f(c) = f(b)，证明：在 (a, b) 内至少存在一点 xi，使 f''(xi) = 0.
设 $a < c < b$，函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，且 $f(a) = f(c) = f(b)$，证明：在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $f''(\xi) = 0$.
题目解答
答案
由题意，函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，且 $f(a) = f(c) = f(b)$（其中 $a < c < b$）。
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应用罗尔定理：
- 在区间 $[a, c]$ 上，由 $f(a) = f(c)$，存在 $\eta_1 \in (a, c)$，使 $f'(\eta_1) = 0$。
- 在区间 $[c, b]$ 上，由 $f(c) = f(b)$，存在 $\eta_2 \in (c, b)$，使 $f'(\eta_2) = 0$。
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再次应用罗尔定理：
- 函数 $f'(x)$ 在 $[\eta_1, \eta_2]$ 上连续，在 $(\eta_1, \eta_2)$ 内可导，且 $f'(\eta_1) = f'(\eta_2) = 0$，故存在 $\xi \in (\eta_1, \eta_2) \subset (a, b)$，使 $f''(\xi) = 0$。
结论：在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，满足 $f''(\xi) = 0$。
$\boxed{\text{在}(a, b)\text{内至少存在一点}\xi，\text{使}f''(\xi) = 0.}$