题目

设 a < c < b，函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内二阶可导，且 f(a) = f(c) = f(b)，证明：在 (a, b) 内至少存在一点 xi，使 f''(xi) = 0.

设 $a < c < b$，函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，且 $f(a) = f(c) = f(b)$，证明：在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $f''(\xi) = 0$.

题目解答

答案

由题意，函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，且 $f(a) = f(c) = f(b)$（其中 $a < c < b$）。

  1. 应用罗尔定理：

    • 在区间 $[a, c]$ 上，由 $f(a) = f(c)$，存在 $\eta_1 \in (a, c)$，使 $f'(\eta_1) = 0$。
    • 在区间 $[c, b]$ 上，由 $f(c) = f(b)$，存在 $\eta_2 \in (c, b)$，使 $f'(\eta_2) = 0$。

  2. 再次应用罗尔定理：

    • 函数 $f'(x)$ 在 $[\eta_1, \eta_2]$ 上连续，在 $(\eta_1, \eta_2)$ 内可导，且 $f'(\eta_1) = f'(\eta_2) = 0$，故存在 $\xi \in (\eta_1, \eta_2) \subset (a, b)$，使 $f''(\xi) = 0$。

结论：在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，满足 $f''(\xi) = 0$。

$\boxed{\text{在}(a, b)\text{内至少存在一点}\xi，\text{使}f''(\xi) = 0.}$

解析

本题考查罗尔定理的应用。罗尔定理指出：如果函数 $y = f(x)$ 满足：（1）在闭区间 $[m, n]$ 上连续；（2）在开区间 $(m, n)$ 内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即 $f(m) = f(n)$，那么在 $(m, n)$ 内至少存在一点 $\eta$，使得 $f'(\eta) = 0$。

解题思路如下：

  1. 首先，根据已知条件 $f(a) = f(c)$ 以及函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，可知 $f(x)$ 在 $[a, c]$ 上连续，在 $(a, c)$ 内可导，满足罗尔定理的条件。
    • 由罗尔定理可得，在区间 $[a, c]$ 上，存在 $\eta_1 \in (a, c)$，使得 $f'(\eta_1) = 0$。
  2. 接着，因为 $f(c) = f(b)$，同理可知 $f(x)$ 在 $[c, b]$ 上连续，在 $(c, b)$ 内可导，也满足罗尔定理的条件。
    • 由罗尔定理可得，在区间 $[c, b]$ 上，存在 $\eta_2 \in (c, b)$，使得 $f'(\eta_2) = 0$。
  3. 然后，考虑函数 $f'(x)$。由于 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内二阶可导，所以 $f'(x)$ 在 $[\eta_1, \eta_2]$ 上连续，在 $(\eta_1, \eta_2)$ 内可导，并且 $f'(\eta_1) = f'(\eta_2) = 0$，满足罗尔定理的条件。
    • 再次应用罗尔定理，存在 $\xi \in (\eta_1, \eta_2)$，使得 $f''(\xi) = 0$。
    • 又因为 $(\eta_1, \eta_2) \subset (a, b)$，所以在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $f''(\xi) = 0$。