题目
4.计算曲面积分Ⅱf(x,y,z)dS,其中Z为抛物面 =2-((x)^2+(y)^2) 在xOy面上方的部分,-|||-f(x,y,z)分别如下:-|||-(2) (x,y,z)=(x)^2+(y)^2;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
抛物面 $z=2-(x^2+y^2)$ 与xOy面的交线为 $x^2+y^2=2$，因此E在xOy面上的投影区域Dxy为 $\{ (x,y)|x^2+y^2\leqslant 2\}$。
步骤 2：计算曲面微元
曲面微元 $dS$ 可以表示为 $dS=\sqrt{1+{z_x}^2+{z_y}^2}dxdy$，其中 $z_x=-2x$，$z_y=-2y$，因此 $dS=\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy$。
步骤 3：转换为极坐标
将积分区域转换为极坐标，$x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，$dxdy=\rho d\rho d\theta$，积分区域变为 $0\leqslant \rho\leqslant \sqrt{2}$，$0\leqslant \theta\leqslant 2\pi$。
步骤 4：计算积分
将 $f(x,y,z)=x^2+y^2$ 代入，得到积分 ${\iint }_{B}(x^2+y^2)dS=\iint {D}_{D}(x^2+y^2)\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy$，转换为极坐标后，积分变为 $\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{2}}\rho^2\sqrt{1+4\rho^2}\rho d\rho$。
步骤 5：计算最终结果
计算积分 $\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{2}}\rho^2\sqrt{1+4\rho^2}\rho d\rho$，得到 $\dfrac{149}{30}\pi$。
抛物面 $z=2-(x^2+y^2)$ 与xOy面的交线为 $x^2+y^2=2$，因此E在xOy面上的投影区域Dxy为 $\{ (x,y)|x^2+y^2\leqslant 2\}$。
步骤 2：计算曲面微元
曲面微元 $dS$ 可以表示为 $dS=\sqrt{1+{z_x}^2+{z_y}^2}dxdy$，其中 $z_x=-2x$，$z_y=-2y$，因此 $dS=\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy$。
步骤 3：转换为极坐标
将积分区域转换为极坐标，$x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，$dxdy=\rho d\rho d\theta$，积分区域变为 $0\leqslant \rho\leqslant \sqrt{2}$，$0\leqslant \theta\leqslant 2\pi$。
步骤 4：计算积分
将 $f(x,y,z)=x^2+y^2$ 代入，得到积分 ${\iint }_{B}(x^2+y^2)dS=\iint {D}_{D}(x^2+y^2)\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy$，转换为极坐标后，积分变为 $\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{2}}\rho^2\sqrt{1+4\rho^2}\rho d\rho$。
步骤 5：计算最终结果
计算积分 $\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{2}}\rho^2\sqrt{1+4\rho^2}\rho d\rho$，得到 $\dfrac{149}{30}\pi$。