设f(x)在 [ -a,a] 上为连续的奇函数,则 (x)=(int )_(0)^xf(t)dt () .A.是非奇非偶函数 B.是偶函数C.是奇函数 D.不确定

考查要点：本题主要考查奇函数的积分性质以及函数奇偶性的判断方法。

解题核心思路：

1. 利用奇函数的定义：已知$f(x)$是奇函数，即$f(-t) = -f(t)$。
2. 积分变量替换：通过变量替换将$F(-x)$的积分转化为与$F(x)$相关的形式。
3. 判断奇偶性：通过比较$F(-x)$与$F(x)$的关系，确定$F(x)$的奇偶性。

破题关键点：

• 积分上下限交换的性质：$\int_{a}^{b} f(t) dt = -\int_{b}^{a} f(t) dt$。
• 变量替换技巧：令$u = -t$，将积分区间转换为与$F(x)$相同的区间。

步骤1：计算$F(-x)$
根据定义，$F(-x) = \int_{0}^{-x} f(t) dt$。
利用积分上下限交换的性质，得：
$F(-x) = -\int_{-x}^{0} f(t) dt.$

步骤2：变量替换
令$u = -t$，则当$t = -x$时，$u = x$；当$t = 0$时，$u = 0$，且$dt = -du$。
代入积分得：
$\int_{-x}^{0} f(t) dt = \int_{x}^{0} f(-u) (-du) = \int_{0}^{x} f(-u) du.$

步骤3：应用奇函数性质
因为$f(x)$是奇函数，$f(-u) = -f(u)$，代入上式得：
$\int_{0}^{x} f(-u) du = \int_{0}^{x} (-f(u)) du = -\int_{0}^{x} f(u) du = -F(x).$

步骤4：综合结果
将步骤3的结果代入步骤1，得：
$F(-x) = -\left( -F(x) \right) = F(x).$
因此，$F(x)$是偶函数。