2.2 如自半径为a的球上,用一与球心相距为b的平面,切出一球形帽,求此球形帽的-|||-质心.

考查要点：本题主要考查球形帽质心的计算，需要结合积分法和几何知识，理解质心的定义及对称性应用。

解题核心思路：

1. 确定球形帽的几何范围：平面与球相交形成球形帽，其高度由平面到球心的距离决定。
2. 利用对称性简化计算：质心必位于球心到平面的垂线上，只需计算沿该轴的坐标。
3. 积分法求质心：通过积分体积元素的位置与质量，结合质心公式求解。

破题关键点：

• 正确设定积分变量：选择柱坐标或直角坐标，利用球的方程表达横截面半径。
• 准确确定积分上下限：根据平面位置确定球形帽的范围。
• 代数化简技巧：对积分结果进行因式分解，简化表达式。

步骤1：建立坐标系与几何分析

设球心在原点，平面方程为$z = b$，球形帽范围为$z \in [b, a]$。球的方程为$x^2 + y^2 + z^2 = a^2$，横截面半径$r = \sqrt{a^2 - z^2}$。

步骤2：计算体积与质心积分

质心坐标$z_c$的公式为：
$z_c = \frac{\int z \, dV}{\int dV}$
其中，体积元素$dV = \pi r^2 dz = \pi (a^2 - z^2) dz$。

分母（体积）：
$V = \int_{b}^{a} \pi (a^2 - z^2) dz = \pi \left[ a^2 z - \frac{z^3}{3} \right]_{b}^{a} = \pi \left( \frac{2a^3}{3} - a^2 b + \frac{b^3}{3} \right)$

分子（积分）：
$\int_{b}^{a} z \cdot \pi (a^2 - z^2) dz = \pi \left[ \frac{a^2 z^2}{2} - \frac{z^4}{4} \right]_{b}^{a} = \pi \left( \frac{a^4}{4} - \frac{a^2 b^2}{2} + \frac{b^4}{4} \right)$

步骤3：化简表达式

分子可写为：
$\frac{(a^2 - b^2)^2}{4} = \frac{(a - b)^2 (a + b)^2}{4}$

分母可分解为：
$\frac{2a^3 - 3a^2 b + b^3}{3} = \frac{(a - b)(2a^2 - ab - b^2)}{3}$

进一步分解分母：
$2a^2 - ab - b^2 = (2a + b)(a - b)$

代入化简：
$z_c = \frac{3(a + b)^2}{4(2a + b)}$