题目
19 学选(4分)下列结论错误的是 () .-|||-○A.若 (x)=ln |x-1|, 则 '(x)=dfrac (1)(x-1)-|||-o B. 若 (x)=ln (x+sqrt (1+{x)^2}) 则 '(x)=dfrac (1)(sqrt {1+{x)^2}}-|||-5-|||-○ C.若 (x)=x(x-1)(x-2)... (x-100), 则 '(0)=1001!-|||-D. 若 (x)=(e)^dfrac (1{sqrt {x-1)}}, 则 '(0)=dfrac (e)(2)
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析选项 A
$f(x)=\ln |x-1|$，当 $x>1$ 时，$f(x)=\ln (x-1)$，其导数为 $f'(x)=\dfrac{1}{x-1}$。当 $x<1$ 时，$f(x)=\ln (1-x)$，其导数为 $f'(x)=\dfrac{-1}{1-x}=\dfrac{1}{x-1}$。因此，选项 A 的结论是正确的。
步骤 2：分析选项 B
$f(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$，使用链式法则求导，$f'(x)=\dfrac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot(1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}})=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$。因此，选项 B 的结论是正确的。
步骤 3：分析选项 C
$f(x)=x(x-1)(x-2)\cdots(x-100)$，代入 $x=0$，$f(0)=0\cdot(-1)\cdot(-2)\cdots(-100)=0$。因此，选项 C 的结论是错误的。
步骤 4：分析选项 D
$f(x)=e^{\frac{1}{x-1}}$，使用链式法则求导，$f'(x)=e^{\frac{1}{x-1}}\cdot\frac{-1}{(x-1)^2}$。代入 $x=0$，$f'(0)=e^{-1}\cdot\frac{-1}{1}=-\frac{1}{e}$。因此，选项 D 的结论是错误的。
$f(x)=\ln |x-1|$，当 $x>1$ 时，$f(x)=\ln (x-1)$，其导数为 $f'(x)=\dfrac{1}{x-1}$。当 $x<1$ 时，$f(x)=\ln (1-x)$，其导数为 $f'(x)=\dfrac{-1}{1-x}=\dfrac{1}{x-1}$。因此，选项 A 的结论是正确的。
步骤 2：分析选项 B
$f(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$，使用链式法则求导，$f'(x)=\dfrac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot(1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}})=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$。因此，选项 B 的结论是正确的。
步骤 3：分析选项 C
$f(x)=x(x-1)(x-2)\cdots(x-100)$，代入 $x=0$，$f(0)=0\cdot(-1)\cdot(-2)\cdots(-100)=0$。因此，选项 C 的结论是错误的。
步骤 4：分析选项 D
$f(x)=e^{\frac{1}{x-1}}$，使用链式法则求导，$f'(x)=e^{\frac{1}{x-1}}\cdot\frac{-1}{(x-1)^2}$。代入 $x=0$，$f'(0)=e^{-1}\cdot\frac{-1}{1}=-\frac{1}{e}$。因此，选项 D 的结论是错误的。