已知_(square )=dfrac (1)(4) ,_(1)=dfrac (1)(2) ,_(2)=dfrac (3)(4) ,(1)推导以这三点为求积节点在_(square )=dfrac (1)(4) ,_(1)=dfrac (1)(2) ,_(2)=dfrac (3)(4) ,上的插值型求积公式_(square )=dfrac (1)(4) ,_(1)=dfrac (1)(2) ,_(2)=dfrac (3)(4) ,;(2)指明求积公式所具有的代数精度;(3)用所求公式计算_(square )=dfrac (1)(4) ,_(1)=dfrac (1)(2) ,_(2)=dfrac (3)(4) ,。

考查要点：本题主要考查插值型求积公式的构造、代数精度的判定以及具体积分计算。
解题思路：

1. 构造求积公式：利用拉格朗日插值基函数，计算各节点的权重系数。
2. 代数精度判定：通过验证求积公式是否准确积分不同次数的多项式，确定最高准确次数。
3. 具体积分计算：直接代入求积公式进行数值计算。

关键点：

• 拉格朗日基函数的积分是求权重系数的核心步骤。
• 代数精度需通过逐次验证多项式次数来确定。

(1) 推导求积公式

步骤1：构造拉格朗日基函数
对于节点 $x_0 = \frac{1}{4}$，$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = \frac{3}{4}$，基函数为：
$\begin{aligned}l_0(x) &= \frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)} = 8\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{3}{4}\right), \\l_1(x) &= \frac{(x - x_0)(x - x_2)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)} = -16\left(x - \frac{1}{4}\right)\left(x - \frac{3}{4}\right), \\l_2(x) &= \frac{(x - x_0)(x - x_1)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)} = 8\left(x - \frac{1}{4}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right).\end{aligned}$

步骤2：计算权重系数
权重系数 $A_i = \int_0^1 l_i(x) \, dx$：
$\begin{aligned}A_0 &= \int_0^1 \left(8x^2 - 10x + 3\right) dx = \frac{2}{3}, \\A_1 &= \int_0^1 \left(-16x^2 + 16x - 3\right) dx = -\frac{1}{3}, \\A_2 &= \int_0^1 \left(8x^2 - 6x + 1\right) dx = \frac{2}{3}.\end{aligned}$

步骤3：整理求积公式
$\int_0^1 f(x) dx \approx \frac{1}{3} \left[ 2f\left(\frac{1}{4}\right) - f\left(\frac{1}{2}\right) + 2f\left(\frac{3}{4}\right) \right].$

(2) 确定代数精度

验证过程：

• 二次多项式：公式准确成立。
• 三次多项式：代入 $f(x) = x^3$，计算得公式结果与精确值 $\frac{1}{4}$ 一致。
• 四次多项式：代入 $f(x) = x^4$，公式结果 $\frac{37}{192}$ 与精确值 $\frac{1}{5}$ 不符。
  结论：代数精度为 3次。

(3) 计算 $\int_0^1 x^2 dx$

直接代入公式：
$\frac{1}{3} \left[ 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 \right] = \frac{1}{3}.$