题目
7.设随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布,已知 lt 0, gt 4, 且 (0lt xlt 3)=-|||-1/4, (Xgt 4)=dfrac (1)(2), 求:-|||-(1)X的概率密度函数;-|||-(2) (1lt Xlt 5).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定概率密度函数
设随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布，其概率密度函数为：
\[ f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{b-a}, & a < x < b \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \]
步骤 2：利用给定条件求解a和b
根据题目条件，我们有：
\[ P(0 < X < 3) = \dfrac{1}{4} \]
\[ P(X > 4) = \dfrac{1}{2} \]
利用概率密度函数，可以将上述条件转化为：
\[ \dfrac{3-0}{b-a} = \dfrac{1}{4} \]
\[ \dfrac{b-4}{b-a} = \dfrac{1}{2} \]
解这个方程组，得到：
\[ \dfrac{3}{b-a} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow b-a = 12 \]
\[ \dfrac{b-4}{b-a} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow b-4 = \dfrac{1}{2}(b-a) \Rightarrow b-4 = 6 \Rightarrow b = 10 \]
代入 $b-a = 12$ 得到 $a = -2$。
步骤 3：计算 $P(1 < X < 5)$
根据概率密度函数，计算 $P(1 < X < 5)$：
\[ P(1 < X < 5) = \int_{1}^{5} \dfrac{1}{12} dx = \dfrac{1}{12} \times (5-1) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \]
设随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布，其概率密度函数为：
\[ f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{b-a}, & a < x < b \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \]
步骤 2：利用给定条件求解a和b
根据题目条件，我们有：
\[ P(0 < X < 3) = \dfrac{1}{4} \]
\[ P(X > 4) = \dfrac{1}{2} \]
利用概率密度函数，可以将上述条件转化为：
\[ \dfrac{3-0}{b-a} = \dfrac{1}{4} \]
\[ \dfrac{b-4}{b-a} = \dfrac{1}{2} \]
解这个方程组，得到：
\[ \dfrac{3}{b-a} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow b-a = 12 \]
\[ \dfrac{b-4}{b-a} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow b-4 = \dfrac{1}{2}(b-a) \Rightarrow b-4 = 6 \Rightarrow b = 10 \]
代入 $b-a = 12$ 得到 $a = -2$。
步骤 3：计算 $P(1 < X < 5)$
根据概率密度函数，计算 $P(1 < X < 5)$：
\[ P(1 < X < 5) = \int_{1}^{5} \dfrac{1}{12} dx = \dfrac{1}{12} \times (5-1) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \]