题目

3 类似地，可求下列极限lim_(xto0)((1)/(sin^2)x-(cos^2x)/(x^2));

3 类似地，可求下列极限 $\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{\sin^{2}x}-\frac{\cos^{2}x}{x^{2}}\right);$

题目解答

答案

将原式合并为一个分数： \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2 x \cos^2 x}{x^2 \sin^2 x} \] 利用恒等式 $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4} \sin^2 2x$，化简为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \frac{1}{4} \sin^2 2x}{x^4} \] 应用泰勒展开 $\sin 2x \approx 2x - \frac{8x^3}{6}$，得： \[ x^2 - \frac{1}{4} \sin^2 2x \approx \frac{4x^4}{3} \] 因此，极限为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{4x^4}{3}}{x^4} = \frac{4}{3} \] 或使用洛必达法则，连续求导至分子分母均非零，结果仍为 $\frac{4}{3}$。 答案：$\boxed{\frac{4}{3}}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及分式的合并、三角恒等式的应用、泰勒展开或等价无穷小替换等方法。

解题核心思路：

  1. 合并分式：将两个分式通分，转化为单一分式形式，便于后续化简。
  2. 三角恒等式：利用$\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4} \sin^2 2x$简化分子表达式。
  3. 泰勒展开或等价无穷小：对$\sin 2x$展开至足够项，消去低阶无穷小，最终求出极限值。

破题关键点：

  • 合并分式是简化表达式的起点。
  • 三角恒等式的灵活应用可大幅降低计算复杂度。
  • 泰勒展开或等价无穷小替换是处理高阶无穷小关系的核心工具。

将原式合并为一个分数：
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2 x \cos^2 x}{x^2 \sin^2 x}$

步骤1：应用三角恒等式
利用$\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4} \sin^2 2x$，分子变为：
$x^2 - \frac{1}{4} \sin^2 2x$

步骤2：泰勒展开$\sin 2x$
当$x \to 0$时，$\sin 2x \approx 2x - \frac{(2x)^3}{6} = 2x - \frac{8x^3}{6}$，平方后：
$\sin^2 2x \approx (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot \frac{8x^3}{6} = 4x^2 - \frac{16x^4}{3}$

步骤3：化简分子
代入展开式：
$x^2 - \frac{1}{4} \sin^2 2x \approx x^2 - \frac{1}{4} \left(4x^2 - \frac{16x^4}{3}\right) = \frac{4x^4}{3}$

步骤4：化简分母
当$x \to 0$时，$\sin x \approx x$，故$\sin^2 x \approx x^2$，分母为：
$x^2 \sin^2 x \approx x^2 \cdot x^2 = x^4$

步骤5：求极限
分子分母代入化简结果：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{4x^4}{3}}{x^4} = \frac{4}{3}$