题目
3 类似地，可求下列极限lim_(xto0)((1)/(sin^2)x-(cos^2x)/(x^2));
3 类似地，可求下列极限
$\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{\sin^{2}x}-\frac{\cos^{2}x}{x^{2}}\right);$
题目解答
答案
将原式合并为一个分数：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2 x \cos^2 x}{x^2 \sin^2 x}
\]
利用恒等式 $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4} \sin^2 2x$，化简为：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \frac{1}{4} \sin^2 2x}{x^4}
\]
应用泰勒展开 $\sin 2x \approx 2x - \frac{8x^3}{6}$，得：
\[
x^2 - \frac{1}{4} \sin^2 2x \approx \frac{4x^4}{3}
\]
因此，极限为：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{4x^4}{3}}{x^4} = \frac{4}{3}
\]
或使用洛必达法则，连续求导至分子分母均非零，结果仍为 $\frac{4}{3}$。
答案：$\boxed{\frac{4}{3}}$