8.确定a、b之值,使 f(x)= { ,xlt 0 ax+b,xgeqslant 0 . ,在 x=0 处连续且可导.

步骤 1：确定函数在 x=0 处连续
为了使函数在 x=0 处连续，需要满足左极限等于右极限，即：
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$$
对于 x<0 的部分，我们有：
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1-\sqrt{1-x}}{x}$$
使用洛必达法则，我们得到：
$$\lim_{x \to 0^-} \frac{1-\sqrt{1-x}}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}}{1} = \frac{1}{2}$$
对于 x≥0 的部分，我们有：
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (ax+b) = b$$
因此，为了使函数在 x=0 处连续，需要满足：
$$b = \frac{1}{2}$$
步骤 2：确定函数在 x=0 处可导
为了使函数在 x=0 处可导，需要满足左导数等于右导数，即：
$$\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x}$$
对于 x<0 的部分，我们有：
$$\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\frac{1-\sqrt{1-x}}{x} - \frac{1}{2}}{x}$$
使用洛必达法则，我们得到：
$$\lim_{x \to 0^-} \frac{\frac{1-\sqrt{1-x}}{x} - \frac{1}{2}}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}}{1} = \frac{1}{8}$$
对于 x≥0 的部分，我们有：
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{ax+b - \frac{1}{2}}{x} = a$$
因此，为了使函数在 x=0 处可导，需要满足：
$$a = \frac{1}{8}$$