题目
求指导本题解题过程，谢谢您！2.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为-|||-试求:(1)系数A的值; f(x,y)= ) A(e)^-(2x+3y),xgt 0,ygt 0 0,xleqslant 0,yleqslant 0 的概率-|||-(3)(X,Y)的联合分布函数.
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：求系数A的值
根据联合概率密度函数的性质，联合概率密度函数在整个定义域上的积分应该等于1。因此，我们有：
$$
\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}A{e}^{-(2x+3y)}dxdy=1
$$
步骤 2：计算积分
将积分分成两部分，先对y积分，再对x积分：
$$
\int_{0}^{\infty}A{e}^{-3y}dy\int_{0}^{\infty}{e}^{-2x}dx=1
$$
步骤 3：求解A
计算两个积分，得到：
$$
\frac{A}{3}\cdot\frac{1}{2}=1
$$
从而得到A的值：
$$
A=6
$$
步骤 4：求(X,Y)落在三角形区域D的概率
根据联合概率密度函数，落在区域D的概率为：
$$
P(D)=\int_{0}^{3}\int_{0}^{\frac{6-2x}{3}}6{e}^{-(2x+3y)}dydx
$$
步骤 5：计算积分
计算积分，得到：
$$
P(D)=1-7{e}^{-6}
$$
步骤 6：求(X,Y)的联合分布函数
根据联合概率密度函数，联合分布函数为：
$$
F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}6{e}^{-(2u+3v)}dvdu
$$
步骤 7：计算联合分布函数
计算联合分布函数，得到：
$$
F(x,y)=\left \{ \begin{matrix} 1-{e}^{-2x}-{e}^{-3y}+{e}^{-(2x+3y)},x\gt 0,y\gt 0\\ 0,x\leqslant 0,y\leqslant 0\end{matrix} \right.
$$
根据联合概率密度函数的性质，联合概率密度函数在整个定义域上的积分应该等于1。因此，我们有：
$$
\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}A{e}^{-(2x+3y)}dxdy=1
$$
步骤 2：计算积分
将积分分成两部分，先对y积分，再对x积分：
$$
\int_{0}^{\infty}A{e}^{-3y}dy\int_{0}^{\infty}{e}^{-2x}dx=1
$$
步骤 3：求解A
计算两个积分，得到：
$$
\frac{A}{3}\cdot\frac{1}{2}=1
$$
从而得到A的值：
$$
A=6
$$
步骤 4：求(X,Y)落在三角形区域D的概率
根据联合概率密度函数，落在区域D的概率为：
$$
P(D)=\int_{0}^{3}\int_{0}^{\frac{6-2x}{3}}6{e}^{-(2x+3y)}dydx
$$
步骤 5：计算积分
计算积分，得到：
$$
P(D)=1-7{e}^{-6}
$$
步骤 6：求(X,Y)的联合分布函数
根据联合概率密度函数，联合分布函数为：
$$
F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}6{e}^{-(2u+3v)}dvdu
$$
步骤 7：计算联合分布函数
计算联合分布函数，得到：
$$
F(x,y)=\left \{ \begin{matrix} 1-{e}^{-2x}-{e}^{-3y}+{e}^{-(2x+3y)},x\gt 0,y\gt 0\\ 0,x\leqslant 0,y\leqslant 0\end{matrix} \right.
$$