题目
设随机变量x服从参数 theta =dfrac (1)(2) (即 lambda =2) 的指数分布,则随机变量 =1-(e)^-2x ()A.在（0,1）上服从均匀分布B.仍服从指数分布C.服从正态分布D.服从参数为2的泊松分布
- A.在（0,1）上服从均匀分布
- B.仍服从指数分布
- C.服从正态分布
- D.服从参数为2的泊松分布
题目解答
答案
A
解析
步骤 1：确定随机变量X的分布
随机变量X服从参数 $\theta =\dfrac {1}{2}$ 的指数分布，即其概率密度函数为 $f_X(x) = 2e^{-2x}$，其中 $x \geq 0$。
步骤 2：求随机变量Y的分布
随机变量 $Y = 1 - e^{-2x}$，我们需要求出Y的概率密度函数。首先，求出Y的累积分布函数（CDF）$F_Y(y)$，然后对CDF求导得到概率密度函数（PDF）$f_Y(y)$。
- 累积分布函数 $F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(1 - e^{-2x} \leq y) = P(e^{-2x} \geq 1 - y) = P(x \leq -\frac{1}{2}\ln(1 - y))$。
- 因为 $x \geq 0$，所以 $0 \leq y < 1$。因此，$F_Y(y) = F_X(-\frac{1}{2}\ln(1 - y))$。
- 代入X的累积分布函数 $F_X(x) = 1 - e^{-2x}$，得到 $F_Y(y) = 1 - e^{-2(-\frac{1}{2}\ln(1 - y))} = 1 - (1 - y) = y$。
- 概率密度函数 $f_Y(y) = \frac{d}{dy}F_Y(y) = \frac{d}{dy}y = 1$，其中 $0 \leq y < 1$。
步骤 3：判断Y的分布类型
根据步骤2的结果，$f_Y(y) = 1$，其中 $0 \leq y < 1$，这表明Y在（0,1）上服从均匀分布。
随机变量X服从参数 $\theta =\dfrac {1}{2}$ 的指数分布，即其概率密度函数为 $f_X(x) = 2e^{-2x}$，其中 $x \geq 0$。
步骤 2：求随机变量Y的分布
随机变量 $Y = 1 - e^{-2x}$，我们需要求出Y的概率密度函数。首先，求出Y的累积分布函数（CDF）$F_Y(y)$，然后对CDF求导得到概率密度函数（PDF）$f_Y(y)$。
- 累积分布函数 $F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(1 - e^{-2x} \leq y) = P(e^{-2x} \geq 1 - y) = P(x \leq -\frac{1}{2}\ln(1 - y))$。
- 因为 $x \geq 0$，所以 $0 \leq y < 1$。因此，$F_Y(y) = F_X(-\frac{1}{2}\ln(1 - y))$。
- 代入X的累积分布函数 $F_X(x) = 1 - e^{-2x}$，得到 $F_Y(y) = 1 - e^{-2(-\frac{1}{2}\ln(1 - y))} = 1 - (1 - y) = y$。
- 概率密度函数 $f_Y(y) = \frac{d}{dy}F_Y(y) = \frac{d}{dy}y = 1$，其中 $0 \leq y < 1$。
步骤 3：判断Y的分布类型
根据步骤2的结果，$f_Y(y) = 1$，其中 $0 \leq y < 1$，这表明Y在（0,1）上服从均匀分布。