(1)设随机变量 =((aX+3Y))^2, E(X)=E(Y)=0 (X)=4 (Y)=-|||-, (rho )_(xy)=-0.5. 求常数a使E(W)为最小,并求E(W)的最小值.-|||-(2)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且有 (X)=(sigma )^2X (Y)=(a)^2Y. 证-|||-明当 ^2=({sigma )_(x)}^2x/({sigma )_(Y)}^2 时,随机变量 W=X-aY 与 V=X+aY 相互独立.

（1）求常数a使E(W)最小
本题考查随机变量函数的期望计算及二次函数极值。核心思路是将E(W)展开为关于a的二次函数，通过求导或配方法找到最小值。关键点在于利用已知方差、协方差及期望为0的条件，正确展开表达式。

（2）证明W与V独立
本题考查二维正态变量的独立性条件。若两个线性组合的随机变量不相关，则它们独立。需计算Cov(W,V)，代入条件后验证其为0，从而利用二维正态变量的性质得出独立性。

第（1）题

展开E(W)

$E(W) = E[(aX + 3Y)^2] = a^2E(X^2) + 6aE(XY) + 9E(Y^2)$

代入已知条件

• $E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 4 + 0 = 4$
• $E(Y^2) = D(Y) + [E(Y)]^2 = 16 + 0 = 16$
• $E(XY) = Cov(X,Y) + E(X)E(Y) = \rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)} + 0 = (-0.5)\sqrt{4 \times 16} = -4$

代入得：
$E(W) = 4a^2 + 6a(-4) + 9 \times 16 = 4a^2 - 24a + 144$

求最小值

二次函数 $4a^2 -24a +144$ 的最小值在顶点处取得，顶点横坐标为：
$a = -\frac{b}{2a} = \frac{24}{8} = 3$
最小值为：
$4(3)^2 -24(3) +144 = 36 -72 +144 = 108$

第（2）题

验证协方差为0

计算 $Cov(W,V) = Cov(X-aY, X+aY)$：
$\begin{aligned}Cov(X-aY, X+aY) &= Cov(X,X) + Cov(X,aY) - Cov(aY,X) - Cov(aY,aY) \\&= D(X) + aCov(X,Y) - aCov(Y,X) - a^2D(Y) \\&= D(X) - a^2D(Y)\end{aligned}$

代入条件

当 $a^2 = \frac{D(X)}{D(Y)}$ 时：
$D(X) - a^2D(Y) = D(X) - \frac{D(X)}{D(Y)} \cdot D(Y) = 0$
因此 $Cov(W,V)=0$，即W与V不相关。由于(W,V)服从二维正态分布，故独立。