5.不用求出函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) 的导数,说明方程 '(x)=0 有几个实-|||-根,并指出它们所在的区间.

考查要点：本题主要考查罗尔定理的应用以及导数根的个数与多项式次数的关系。

解题核心思路：

1. 观察函数$f(x)$的结构，发现其在区间$[1,2]$、$[2,3]$、$[3,4]$上满足罗尔定理的条件（连续、可导，且端点函数值为0）。
2. 罗尔定理保证每个区间内至少存在一个导数为零的点，即$f'(x)=0$在每个区间内至少有一个实根。
3. 结合导数$f'(x)$为三次多项式（最多有3个实根），得出方程$f'(x)=0$恰好有3个实根，分别位于上述三个区间内。

应用罗尔定理分析区间

1. 区间$[1,2]$：

   • $f(x)$在$[1,2]$上连续，在$(1,2)$内可导。
   • $f(1)=0$，$f(2)=0$，满足罗尔定理条件。
   • 因此存在$\xi_1 \in (1,2)$，使得$f'(\xi_1)=0$。

2. 区间$[2,3]$：

   • 同理，$f(2)=0$，$f(3)=0$，满足罗尔定理条件。
   • 存在$\xi_2 \in (2,3)$，使得$f'(\xi_2)=0$。

3. 区间$[3,4]$：

   • $f(3)=0$，$f(4)=0$，满足罗尔定理条件。
   • 存在$\xi_3 \in (3,4)$，使得$f'(\xi_3)=0$。

确定实根个数上限

• 原函数$f(x)$是四次多项式，其导数$f'(x)$为三次多项式。
• 三次方程最多有3个实根，因此$f'(x)=0$的实根个数为3。