题目

若向量组(alpha )_(1)=((1,1,1))^T (alpha )_(2)=((0,1,1))^T (alpha )_(3)=((0,0,1))^T能由向量组(alpha )_(1)=((1,1,1))^T (alpha )_(2)=((0,1,1))^T (alpha )_(3)=((0,0,1))^T线性表示，则向量组(alpha )_(1)=((1,1,1))^T (alpha )_(2)=((0,1,1))^T (alpha )_(3)=((0,0,1))^T的秩为（）。A.3 B.2C.1 D.无法确定

若向量组 $\alpha_1=\left(1,1,1\right)^T,\alpha_2=\left(0,1,1\right)^T,\alpha_3=\left(0,0,1\right)^T$

能由向量组 $\beta_1=\left(a_1,a_2,a_3\right)^T,\beta_2=\left(b_1,b_2,b_3\right)^T,\beta_3=\left(c_1,c_2,c_3\right)^T$ 线性表示，则向量组 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 的秩为（）。

A.3 B.2

C.1 D.无法确定

题目解答

答案

设向量组 $A=\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\right),B=\left(\beta_1,\beta_2,\beta_3\right)$

因为向量组A可以由向量组B线性表示，所以 $R\left(A\right)\le R\left(B\right)$ 。

$A=\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\right)=\left(\begin{matrix} 1 & 0& 0\newline 1&1 & 0\newline 1& 1&1 \end{matrix}\right)$

因为 $|A|=\left|\begin{matrix} 1 & 0& 0\newline 1&1 & 0\newline 1& 1&1 \end{matrix}\right|=1\ne0$

所以 $R\left(A\right)=3$ 。

又因为 $R\left(A\right)\le R\left(B\right)$ ，B为三阶矩阵， $R\left(B\right)\le3$ 。

所以 $R\left(A\right)=R\left(B\right)=3$

由此可知本题答案选A。

解析

步骤 1：定义向量组
设向量组$A=({\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3})$ $B=({\beta }_{1},{\beta }_{2},{\beta }_{3})$，其中${\alpha }_{1}={(1,1,1)}^{T}$，${\alpha }_{2}={(0,1,1)}^{T}$，${\alpha }_{3}={(0,0,1)}^{T}$，${\beta }_{1}={({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3})}^{T}$，${\beta }_{2}={({b}_{1},{b}_{2},{b}_{3})}^{T}$，${\beta }_{3}={({c}_{1},{c}_{2},{c}_{3})}^{T}$。

步骤 2：向量组A可以由向量组B线性表示
因为向量组A可以由向量组B线性表示，所以$R(A)\leqslant R(B)$。

步骤 3：计算向量组A的秩
因为
$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}$
所以$R(A)=3$。

步骤 4：计算向量组B的秩
又因为$R(A)\leqslant R(B)$，B为三阶矩阵，$R(B)\leqslant 3$。
所以$R(A)=R(B)=3$。