题目

证明 |z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)，并说明其几何意义。提示：利用公式 |z|^2 = zoverline(z)。

证明 $|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)$，并说明其几何意义。

提示：利用公式 $|z|^2 = z\overline{z}$。

题目解答

答案

设 $x_1 = a + bi$，$x_2 = c + di$（$a, b, c, d$ 为实数），则
$|x_1|^2 = a^2 + b^2, \quad |x_2|^2 = c^2 + d^2.$
计算得
$|x_1 + x_2|^2 = (a + c)^2 + (b + d)^2, \quad |x_1 - x_2|^2 = (a - c)^2 + (b - d)^2.$
相加得
$|x_1 + x_2|^2 + |x_1 - x_2|^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) = 2(|x_1|^2 + |x_2|^2).$
几何意义：
该等式表示平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和，或任意两个向量的和与差的模的平方和等于它们的模的平方和的两倍。

$\boxed{ \text{平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和。} }$

解析

本题考查复数的模的运算以及复数运算的几何意义。解题思路是先利用复数模的平方等于复数与其共轭复数的乘积这一性质，将$\vert z_1 + z_2\vert^2$与$\vert z_1 - z_2\vert^2$展开化简，然后通过计算得出等式右边的形式，最后根据复数与向量的对应关系说明其几何意义。

设$z_1=a + bi$，$z_2=c + di$，其中$a,b,c,d\in R$。

  1. 首先，根据复数模的性质$\vert z\vert^2 = z\overline{z}$，计算$\vert z_1 + z_2\vert^2$：
    • $z_1 + z_2=(a + c)+(b + d)i$，则$\overline{z_1 + z_2}=(a + c)-(b + d)i$。
    • 所以$\vert z_1 + z_2\vert^2=(z_1 + z_2)(\overline{z_1 + z_2})=[(a + c)+(b + d)i][(a + c)-(b + d)i]$。
    • 根据平方差公式$(m + n)(m - n)=m^2 - n^2$，这里$m=(a + c)$，$n=(b + d)i$，可得$\vert z_1 + z_2\vert^2=(a + c)^2-(b + d)^2i^2$。
    • 因为$i^2=-1$，所以$\vert z_1 + z_2\vert^2=(a + c)^2+(b + d)^2=a^2 + 2ac + c^2 + b^2 + 2bd + d^2$。
  2. 接着，计算$\vert z_1 - z_2\vert^2$：
    • $z_1 - z_2=(a - c)+(b - d)i$，则$\overline{z_1 - z_2}=(a - c)-(b - d)i$。
    • 所以$\vert z_1 - z_2\vert^2=(z_1 - z_2)(\overline{z_1 - z_2})=[(a - c)+(b - d)i][(a - c)-(b - d)i]$。
    • 同样根据平方差公式，可得$\vert z_1 - z_2\vert^2=(a - c)^2-(b - d)^2i^2$。
    • 因为$i^2=-1$，所以$\vert z_1 - z_2\vert^2=(a - c)^2+(b - d)^2=a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bd + d^2$。
  3. 然后，计算$\vert z_1 + z_2\vert^2+\vert z_1 - z_2\vert^2$：
    • $\vert z_1 + z_2\vert^2+\vert z_1 - z_2\vert^2=(a^2 + 2ac + c^2 + b^2 + 2bd + d^2)+(a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bd + d^2)$。
    • 合并同类项得$\vert z_1 + z_2\vert^2+\vert z_1 - z_2\vert^2=2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2d^2$。
    • 又因为$\vert z_1\vert^2=a^2 + b^2$，$\vert z_2\vert^2=c^2 + d^2$，所以$\vert z_1 + z_2\vert^2+\vert z_1 - z_2\vert^2=2(\vert z_1\vert^2+\vert z_2\vert^2)$。
  4. 最后，说明几何意义：
    • 在复平面内，复数$z$可以用向量来表示，设$\overrightarrow{OZ_1}$对应复数$z_1$，$\overrightarrow{OZ_2}$对应复数$z_2$。
    • 以$\overrightarrow{OZ_1}$，$\overrightarrow{OZ_2}$为邻边作平行四边形，则$\overrightarrow{OZ_1}+\overrightarrow{OZ_2}$对应复数$z_1 + z_2$，$\overrightarrow{OZ_1}-\overrightarrow{OZ_2}$对应复数$z_1 - z_2$。
    • $\vert z_1 + z_2\vert$和$\vert z_1 - z_2\vert$分别是平行四边形的两条对角线的长度，$\vert z_1\vert$和$\vert z_2\vert$是平行四边形的两条邻边的长度。
    • 所以该等式表示平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和，也可以理解为任意两个向量的和与差的模的平方和等于它们的模的平方和的两倍。