1.求 =2(x)^3-6(x)^2-18x-7 的单调区间和极值
题目解答
答案
【答案】
单调递增区间是$\left(-\infty ,-1\right)$和$\left(3,+\infty \right)$，单调递减区间是$\left(-1,3\right)$；极大值是$3$，极小值是$-61$
【解析】
$\because y=2{x}^{3}-6{x}^{2}-18x-7$，
$\therefore y'=6{x}^{2}-12x-18=6\left(x-3\right)\left(x+1\right)$，
令$y'=0$，解得$x=-1$或$x=3$，
令$y'\gt 0$，解得$x\lt -1$或$x\gt 3$，令$y'\lt 0$，解得$-1\lt x\lt 3$，
$\therefore y=2{x}^{3}-6{x}^{2}-18x-7$的单调递增区间是$\left(-\infty ,-1\right)$和$\left(3,+\infty \right)$，单调递减区间是$\left(-1,3\right)$，
当$x=-1$时，函数取得极大值，极大值是$2\times {\left(-1\right)}^{3}-6\times {\left(-1\right)}^{2}-18\times \left(-1\right)-7=3$，
当$x=3$时，函数取得极小值，极小值是$2\times {3}^{3}-6\times {3}^{2}-18\times 3-7=-61$.
解析
考查要点：本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，涉及导数的计算、导数符号变化与函数单调性的关系、极值的判定方法。
解题核心思路：
- 求导：对函数求导，得到导函数。
- 求临界点：解方程$y'=0$，找到函数的临界点。
- 划分区间：根据临界点将定义域分成若干区间。
- 判断单调性：在每个区间内判断导数的符号，确定函数的单调性。
- 求极值：根据导数在临界点处的符号变化，确定极大值或极小值，并计算对应函数值。
破题关键点：
- 导数的正确计算：注意系数和符号的处理。
- 临界点的求解：通过因式分解或求根公式解二次方程。
- 导数符号的判断：通过测试点法确定各区间的导数符号。
- 极值的判定：结合导数符号变化判断极大值或极小值。
步骤1：求导数
函数为$y=2x^3-6x^2-18x-7$，求导得：
$y' = 6x^2 - 12x - 18$
步骤2：求临界点
解方程$y'=0$：
$6x^2 - 12x - 18 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0$
解得临界点为$x=-1$和$x=3$。
步骤3：划分区间并判断单调性
将数轴分为三个区间：
- $x < -1$：取测试点$x=-2$，代入$y'$得$6(-2)^2 - 12(-2) - 18 = 30 > 0$，函数单调递增。
- $-1 < x < 3$：取测试点$x=0$，代入$y'$得$6(0)^2 - 12(0) - 18 = -18 < 0$，函数单调递减。
- $x > 3$：取测试点$x=4$，代入$y'$得$6(4)^2 - 12(4) - 18 = 30 > 0$，函数单调递增。
步骤4：求极值
- 极大值：在$x=-1$处，导数由正变负，函数取得极大值：
$y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1)^2 - 18(-1) - 7 = 3$ - 极小值：在$x=3$处，导数由负变正，函数取得极小值：
$y(3) = 2(3)^3 - 6(3)^2 - 18(3) - 7 = -61$