.14-2 波长为500nm和520nm的两种单色光同时垂直入射在光栅常数为0.002cm的-|||-光栅上,紧靠光栅后用焦距为2m的透镜把光线聚焦在屏幕上。求这两束光的第三级谱线-|||-之间的距离。

考查要点：本题主要考查光栅衍射中谱线位置的计算，涉及光栅方程的应用及单位换算。

解题核心思路：

1. 光栅方程：$a \sin \varphi = k \lambda$，其中$a$为光栅常数，$\varphi$为衍射角，$k$为级数，$\lambda$为波长。
2. 小角近似：当衍射角$\varphi$较小时，$\sin \varphi \approx \tan \varphi = \frac{x}{f}$，从而将光栅方程转化为$x = \frac{k \lambda f}{a}$。
3. 计算两种波长对应的谱线位置，求差值得到距离。

破题关键点：

• 单位统一：将光栅常数$a$（单位：cm）和波长$\lambda$（单位：nm）转换为米（m）。
• 公式代入：正确代入公式$x = \frac{k \lambda f}{a}$，注意$k=3$。

步骤1：公式推导

根据光栅方程和小角近似：
$a \sin \varphi = k \lambda \quad \Rightarrow \quad \sin \varphi = \frac{k \lambda}{a} \\ \tan \varphi = \frac{x}{f} \approx \sin \varphi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{k \lambda f}{a}$

步骤2：代入数据

• 光栅常数：$a = 0.002 \, \text{cm} = 0.00002 \, \text{m}$
• 焦距：$f = 2 \, \text{m}$
• 级数：$k = 3$
• 波长：$\lambda_1 = 500 \, \text{nm} = 500 \times 10^{-9} \, \text{m}$，$\lambda_2 = 520 \, \text{nm} = 520 \times 10^{-9} \, \text{m}$

步骤3：计算两种波长的谱线位置

$x_1 = \frac{3 \cdot 500 \times 10^{-9} \cdot 2}{0.00002} = 0.15 \, \text{m} \\ x_2 = \frac{3 \cdot 520 \times 10^{-9} \cdot 2}{0.00002} = 0.156 \, \text{m}$

步骤4：求距离

$\Delta x = |x_2 - x_1| = |0.156 - 0.15| = 0.006 \, \text{m}$