题目
求过点(3,1,-2)且通过直线(3,1,-2)的平面方程。
求过点
且通过直线
的平面方程。
题目解答
答案
设平面的法向量为
，点为
点，直线为
.
直线过定点
,
则点与
点构成的向量为
，直线的方向向量为
,
因此法向量与、两向量垂直，即
,
代入点法式方程为
,
化简为
.
解析
步骤 1：确定直线上的点和方向向量
直线$\dfrac {x-4}{5}=\dfrac {y+3}{2}=\dfrac {z}{1}$过点A(4,-3,0)，其方向向量为$\vec{d}=(5,2,1)$。
步骤 2：确定平面的法向量
平面通过点(3,1,-2)和直线上的点A(4,-3,0)，因此向量$\vec{AP}=(4-3,-3-1,0+2)=(1,-4,2)$也在平面上。平面的法向量$\vec{n}$垂直于$\vec{AP}$和$\vec{d}$，因此$\vec{n}=\vec{AP} \times \vec{d}$。
步骤 3：计算法向量
$\vec{n}=\vec{AP} \times \vec{d}=(1,-4,2) \times (5,2,1)$
$=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -4 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
$=\vec{i}((-4)(1)-(2)(2))-\vec{j}((1)(1)-(2)(5))+\vec{k}((1)(2)-(-4)(5))$
$=\vec{i}(-4-4)-\vec{j}(1-10)+\vec{k}(2+20)$
$=-8\vec{i}+9\vec{j}+22\vec{k}$
$=(-8,9,22)$
步骤 4：写出平面方程
平面的法向量为$\vec{n}=(-8,9,22)$，通过点(3,1,-2)，因此平面方程为$-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0$，化简得$-8x+24+9y-9+22z+44=0$，即$-8x+9y+22z+59=0$。
直线$\dfrac {x-4}{5}=\dfrac {y+3}{2}=\dfrac {z}{1}$过点A(4,-3,0)，其方向向量为$\vec{d}=(5,2,1)$。
步骤 2：确定平面的法向量
平面通过点(3,1,-2)和直线上的点A(4,-3,0)，因此向量$\vec{AP}=(4-3,-3-1,0+2)=(1,-4,2)$也在平面上。平面的法向量$\vec{n}$垂直于$\vec{AP}$和$\vec{d}$，因此$\vec{n}=\vec{AP} \times \vec{d}$。
步骤 3：计算法向量
$\vec{n}=\vec{AP} \times \vec{d}=(1,-4,2) \times (5,2,1)$
$=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -4 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
$=\vec{i}((-4)(1)-(2)(2))-\vec{j}((1)(1)-(2)(5))+\vec{k}((1)(2)-(-4)(5))$
$=\vec{i}(-4-4)-\vec{j}(1-10)+\vec{k}(2+20)$
$=-8\vec{i}+9\vec{j}+22\vec{k}$
$=(-8,9,22)$
步骤 4：写出平面方程
平面的法向量为$\vec{n}=(-8,9,22)$，通过点(3,1,-2)，因此平面方程为$-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0$，化简得$-8x+24+9y-9+22z+44=0$，即$-8x+9y+22z+59=0$。