已知 P(A)=0.2, P(B)=0.45, P(AB)=0.15，求：(1) P(Aoverline(B)), P(overline(A)B), P(overline(A)overline(B));(2) P(Acup B), P(overline(A)cup B), P(overline(A)cupoverline(B));(3) P(A|B), P(B|A), P(A|overline(B)).

我们已知以下概率信息：

• $ P(A) = 0.2 $
• $ P(B) = 0.45 $
• $ P(A \cap B) = P(AB) = 0.15 $

我们将逐步求解各个部分。

(1) 求 $ P(A\overline{B}) $, $ P(\overline{A}B) $, $ P(\overline{A}\overline{B}) $

① $ P(A\overline{B}) $：A 发生但 B 不发生

事件 $ A\overline{B} $ 表示 A 发生，而 B 不发生。
由于 $ A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) $，且这两个部分互斥，
所以：
$P(A) = P(AB) + P(A\overline{B})$
$\Rightarrow P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB) = 0.2 - 0.15 = 0.05$

② $ P(\overline{A}B) $：B 发生但 A 不发生

同理，B 可以分解为：
$P(B) = P(AB) + P(\overline{A}B)$
$\Rightarrow P(\overline{A}B) = P(B) - P(AB) = 0.45 - 0.15 = 0.30$

③ $ P(\overline{A}\overline{B}) $：A 不发生且 B 也不发生

即两个事件都不发生，这是全集减去 $ A \cup B $ 的补集：
$P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - P(A \cup B)$
但我们先不急着算这个，可以先用容斥原理算 $ P(A \cup B) $，或者直接用概率图分解。

我们也可以从总概率角度考虑：

整个样本空间可以划分为四个互斥事件：

• $ AB $：0.15
• $ A\overline{B} $：0.05（已算）
• $ \overline{A}B $：0.30（已算）
• $ \overline{A}\overline{B} $：？

所以：
$P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - [P(AB) + P(A\overline{B}) + P(\overline{A}B)] = 1 - (0.15 + 0.05 + 0.30) = 1 - 0.50 = 0.50$

(2) 求 $ P(A \cup B) $, $ P(\overline{A} \cup B) $, $ P(\overline{A} \cup \overline{B}) $

① $ P(A \cup B) $：A 或 B 发生

使用概率的加法公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.2 + 0.45 - 0.15 = 0.50$

也可以验证：前面三个部分概率之和为 0.15 + 0.05 + 0.30 = 0.50，所以 $ P(\overline{A}\overline{B}) = 0.50 $，也一致。

② $ P(\overline{A} \cup B) $：A 不发生 或 B 发生

使用公式：
$P(\overline{A} \cup B) = 1 - P(A \cap \overline{B})$
（因为 $ \overline{A} \cup B $ 的补集是 $ A \cap \overline{B} $，即 A 发生且 B 不发生）

我们前面已经算出 $ P(A\overline{B}) = 0.05 $

所以：
$P(\overline{A} \cup B) = 1 - P(A\overline{B}) = 1 - 0.05 = 0.95$

或者用直接分解：
$P(\overline{A} \cup B) = P(\overline{A}) + P(B) - P(\overline{A} \cap B)$
$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.2 = 0.8$
$P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}B) = 0.30 \quad \text{（前面已算）}$
所以：
$P(\overline{A} \cup B) = 0.8 + 0.45 - 0.30 = 0.95$
结果一致。

③ $ P(\overline{A} \cup \overline{B}) $：A 不发生 或 B 不发生

这实际上是 $ \overline{A \cap B} $，即 AB 不同时发生。

所以：
$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0.15 = 0.85$

或者用公式：
$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A}) + P(\overline{B}) - P(\overline{A} \cap \overline{B})$
$P(\overline{A}) = 0.8, \quad P(\overline{B}) = 1 - 0.45 = 0.55$
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}\overline{B}) = 0.50$
所以：
$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 0.8 + 0.55 - 0.50 = 0.85$
结果一致。

(3) 求条件概率

① $ P(A|B) $：在 B 发生的条件下 A 发生的概率

$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{0.15}{0.45} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$

② $ P(B|A) $：在 A 发生的条件下 B 发生的概率

$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{0.15}{0.2} = 0.75$

③ $ P(A|\overline{B}) $：在 B 不发生的条件下 A 发生的概率

$P(A|\overline{B}) = \frac{P(A \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{P(A\overline{B})}{1 - P(B)} = \frac{0.05}{0.55} = \frac{1}{11} \approx 0.0909$

最终答案汇总

(1)

• $ P(A\overline{B}) = \boxed{0.05} $
• $ P(\overline{A}B) = \boxed{0.30} $
• $ P(\overline{A}\overline{B}) = \boxed{0.50} $

(2)

• $ P(A \cup B) = \boxed{0.50} $
• $ P(\overline{A} \cup B) = \boxed{0.95} $
• $ P(\overline{A} \cup \overline{B}) = \boxed{0.85} $

(3)

• $ P(A|B) = \boxed{\dfrac{1}{3}} \approx 0.3333 $
• $ P(B|A) = \boxed{0.75} $
• $ P(A|\overline{B}) = \boxed{\dfrac{1}{11}} \approx 0.0909 $

✅ 所有结果均已验证，逻辑一致。