1.3 设函数f(x)=(1)/(e^frac(x){x-1)-1}，则（ ）.A. x=0，x=1都是f(x)的第一类间断点B. x=0，x=1都是f(x)的第二类间断点C. x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点D. x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点

考查要点：本题主要考查函数间断点类型的判断，需掌握第一类间断点（可去、跳跃）与第二类间断点（无穷、振荡等）的定义及判断方法。

解题核心思路：

1. 确定函数无定义的点：分母为零或函数表达式不合法的点。
2. 计算左右极限：分别分析左右极限是否存在、是否相等。
3. 分类判断：
   • 若左右极限存在但不相等 → 第一类（跳跃）；
   • 若左右极限至少一个不存在或为无穷 → 第二类（无穷或振荡）。

破题关键：

• x=0处：分母趋近于0，导致函数值趋向无穷大 → 第二类间断点；
• x=1处：左右极限存在但不相等 → 第一类间断点。

x=0处的分析

1. 代入表达式：当$x \to 0$时，$\frac{x}{x-1} \to 0$；
2. 计算指数部分：$e^{\frac{x}{x-1}} \to e^0 = 1$；
3. 分母趋近于0：$e^{\frac{x}{x-1}} -1 \to 0$，故$f(x) = \frac{1}{0} \to +\infty$；
4. 结论：左右极限均为无穷大 → 第二类间断点（无穷间断点）。

x=1处的分析

1. 右侧极限（$x \to 1^+$）：
   • $\frac{x}{x-1} \to +\infty$，$e^{\frac{x}{x-1}} \to +\infty$；
   • 分母$e^{\frac{x}{x-1}} -1 \to +\infty$，故$f(x) \to 0^+$；
2. 左侧极限（$x \to 1^-$）：
   • $\frac{x}{x-1} \to -\infty$，$e^{\frac{x}{x-1}} \to 0^+$；
   • 分母$e^{\frac{x}{x-1}} -1 \to -1$，故$f(x) \to -1$；
3. 结论：左右极限存在但不相等 → 第一类间断点（跳跃间断点）。