题目
设 y=y(x) 是二阶常系数微分方程 ''+py'+qy=(e)^3x 满足初始条件 y(0)=y'(0)=0 的特-|||-解,则当 arrow 0 时,函数 dfrac (ln (1+{x)^2)}(y(x)) 的极限为 ()-|||-(A)不存在 (B)1 (C)2 (D)3
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定微分方程的解
给定的微分方程是 $y''+py'+qy={e}^{3x}$，且初始条件为 y(0)=y'(0)=0。我们需要找到满足这些条件的特解 y(x)。
步骤 2：求解微分方程
首先，我们求解齐次方程 $y''+py'+qy=0$ 的通解。设特征方程为 $r^2+pr+q=0$，其解为 $r_1$ 和 $r_2$。根据特征方程的解，齐次方程的通解为 $y_h(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$。然后，我们寻找非齐次方程的特解。由于非齐次项为 ${e}^{3x}$，我们假设特解形式为 $y_p(x)=Ae^{3x}$。将 $y_p(x)$ 代入原方程，解出 $A$，得到特解 $y_p(x)$。最后，微分方程的通解为 $y(x)=y_h(x)+y_p(x)$。
步骤 3：应用初始条件
将初始条件 y(0)=y'(0)=0 应用到通解中，解出常数 $C_1$ 和 $C_2$，从而得到特解 y(x)。
步骤 4：计算极限
计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+{x}^{2})}{y(x)}$。由于 $\ln (1+{x}^{2})$ 在 $x\rightarrow 0$ 时与 ${x}^{2}$ 等价，我们有 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+{x}^{2})}{y(x)}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}}{y(x)}$。根据洛必达法则，我们有 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}}{y(x)}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x}{y'(x)}$。继续应用洛必达法则，我们得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x}{y'(x)}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2}{y''(x)}$。由于 $y''(x)={e}^{3x}-py'(x)-qy(x)$，代入 $x=0$，我们得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2}{y''(x)}=\dfrac {2}{1-0-0}=2$。
给定的微分方程是 $y''+py'+qy={e}^{3x}$，且初始条件为 y(0)=y'(0)=0。我们需要找到满足这些条件的特解 y(x)。
步骤 2：求解微分方程
首先，我们求解齐次方程 $y''+py'+qy=0$ 的通解。设特征方程为 $r^2+pr+q=0$，其解为 $r_1$ 和 $r_2$。根据特征方程的解，齐次方程的通解为 $y_h(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$。然后，我们寻找非齐次方程的特解。由于非齐次项为 ${e}^{3x}$，我们假设特解形式为 $y_p(x)=Ae^{3x}$。将 $y_p(x)$ 代入原方程，解出 $A$，得到特解 $y_p(x)$。最后，微分方程的通解为 $y(x)=y_h(x)+y_p(x)$。
步骤 3：应用初始条件
将初始条件 y(0)=y'(0)=0 应用到通解中，解出常数 $C_1$ 和 $C_2$，从而得到特解 y(x)。
步骤 4：计算极限
计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+{x}^{2})}{y(x)}$。由于 $\ln (1+{x}^{2})$ 在 $x\rightarrow 0$ 时与 ${x}^{2}$ 等价，我们有 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+{x}^{2})}{y(x)}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}}{y(x)}$。根据洛必达法则，我们有 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}}{y(x)}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x}{y'(x)}$。继续应用洛必达法则，我们得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x}{y'(x)}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2}{y''(x)}$。由于 $y''(x)={e}^{3x}-py'(x)-qy(x)$，代入 $x=0$，我们得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2}{y''(x)}=\dfrac {2}{1-0-0}=2$。