(1)设随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= ) (e)^-x,xgt 0 0,xleqslant 0 的数学期望.

考查要点：本题主要考查随机变量函数的数学期望计算，涉及指数分布的性质和积分法求期望的应用。

解题核心思路：

1. 利用期望的线性性质：对于线性变换$Y = aX + b$，可直接通过$E(Y) = aE(X) + b$计算。
2. 直接积分法：对于非线性函数$Y = g(X)$，需通过积分$\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f_X(x)dx$计算期望。

破题关键点：

• 识别分布类型：题目中$X$服从参数为$\lambda=1$的指数分布，其期望$E(X)=1/\lambda=1$。
• 正确选择方法：第(i)问可直接应用线性性质，第(ii)问需展开积分计算。

第(i)题：求$Y=2X$的数学期望

应用期望的线性性质

由期望的线性性质，$E(aX) = aE(X)$，其中$a=2$。
已知$X$服从指数分布$E(\lambda=1)$，故$E(X) = 1/\lambda = 1$。
因此，$E(Y) = E(2X) = 2E(X) = 2 \times 1 = 2$。

第(ii)题：求$Y=e^{-2X}$的数学期望

构造积分表达式

数学期望为：
$E(Y) = E(e^{-2X}) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2x} f_X(x) dx$
由于$f_X(x) = e^{-x}$当$x>0$，否则为0，积分区间简化为$[0, +\infty)$：
$E(Y) = \int_{0}^{+\infty} e^{-2x} \cdot e^{-x} dx = \int_{0}^{+\infty} e^{-3x} dx$

计算积分

积分$\int_{0}^{+\infty} e^{-3x} dx$的结果为：
$\left[ -\frac{1}{3} e^{-3x} \right]_0^{+\infty} = 0 - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3}$