已知向量组alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)线性无关，beta_(1)=alpha_(1)+alpha_(2),beta_(2)=alpha_(1)+2alpha_(2)+alpha_(3),beta_(3)=alpha_(2)+alpha_(3),则向量组beta_(1),beta_(2),beta_(3)的秩为（）.A 0B 1C 2D 3

这是一道关于向量组秩的线性代数题目。我们可以通过分析向量之间的线性关系来求解。

推理过程如下：

已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，且：
$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2$
$\beta_2 = \alpha_1 + 2\alpha_2 + \alpha_3$
$\beta_3 = \alpha_2 + \alpha_3$

我们需要求向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的秩。

方法一：利用矩阵的秩

我们可以将向量 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 表示为向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合。写成矩阵形式：
$(\beta_1, \beta_2, \beta_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

令系数矩阵为 $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。
因为向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，所以向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的秩等于矩阵 $C$ 的秩。

我们来计算矩阵 $C$ 的行列式：
$|C| = 1 \times (2 \times 1 - 1 \times 1) - 1 \times (1 \times 1 - 1 \times 0) + 0$
$|C| = 1 \times 1 - 1 \times 1 = 0$

因为行列式为 $0$，所以矩阵 $C$ 的秩小于 $3$。
接着我们观察矩阵 $C$ 的子行列式，例如左上角的二阶子式：
$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \times 2 - 1 \times 1 = 1 \neq 0$

由于存在一个不为零的二阶子式，且三阶行列式为 $0$，所以矩阵 $C$ 的秩为 $2$。
因此，向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的秩也为 $2$。

方法二：利用向量间的线性关系

观察给定的向量表达式，我们可以尝试寻找 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 之间的关系。
计算 $\beta_1 + \beta_3$：
$\beta_1 + \beta_3 = (\alpha_1 + \alpha_2) + (\alpha_2 + \alpha_3) = \alpha_1 + 2\alpha_2 + \alpha_3$

对比 $\beta_2$ 的表达式，发现：
$\beta_2 = \alpha_1 + 2\alpha_2 + \alpha_3$

所以有 $\beta_2 = \beta_1 + \beta_3$，即 $\beta_1 - \beta_2 + \beta_3 = 0$。
这说明向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是线性相关的，因此它们的秩小于 $3$。

接下来判断其中是否有两个向量是线性无关的。我们取 $\beta_1$ 和 $\beta_3$：
假设存在常数 $k_1, k_3$ 使得 $k_1\beta_1 + k_3\beta_3 = 0$。
代入表达式：
$k_1(\alpha_1 + \alpha_2) + k_3(\alpha_2 + \alpha_3) = 0$
$k_1\alpha_1 + (k_1 + k_3)\alpha_2 + k_3\alpha_3 = 0$

因为向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，所以它们的系数必须全为零：
$k_1 = 0$
$k_1 + k_3 = 0$
$k_3 = 0$

解得 $k_1 = 0, k_3 = 0$。这说明向量 $\beta_1$ 和 $\beta_3$ 是线性无关的。
既然向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性相关，且其中有两个向量（$\beta_1, \beta_3$）线性无关，那么该向量组的秩就是 $2$。

结论：

向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的秩为 $2$。对应选项 C。