由方程xy=e^x+y确定的隐函数x=x(y)的导数(dx)/(dy)=()A. (x(y-1))/(y(1-x))B. (y(x-1))/(x(1-y))C. (y(1+x))/(x(y-1))D. (x(1+y))/(y(x-1))

本题考查隐函数求导的知识点。解题思路是对方程两边同时关于$y$求导，然后通过移项、化简等操作求出$\frac{dx}{dy}$。

已知方程$xy = e^{x + y}$，等式两边同时对$y$求导：

• 对等式左边$xy$求导：
  根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u = x$，$v = y$，$y$对$y$求导为$1$，$x$对$y$求导为$\frac{dx}{dy}$，所以$(xy)^\prime = \frac{dx}{dy} \cdot y + x \cdot 1 = y\frac{dx}{dy} + x$。
• 对等式右边$e^{x + y}$求导：
  根据复合函数求导法则，令$u = x + y$，则$(e^{x + y})^\prime = (e^u)^\prime \cdot u^\prime$，$(e^u)^\prime = e^u$，$u^\prime = \frac{dx}{dy} + 1$，所以$(e^{x + y})^\prime = e^{x + y} \cdot (\frac{dx}{dy} + 1)$。

此时得到等式$y\frac{dx}{dy} + x = e^{x + y} \cdot (\frac{dx}{dy} + 1)$。
因为$xy = e^{x + y}$，将其代入上式可得$y\frac{dx}{dy} + x = xy \cdot (\frac{dx}{dy} + 1)$。
展开右边式子得$y\frac{dx}{dy} + x = xy\frac{dx}{dy} + xy$。
移项可得$y\frac{dx}{dy} - xy\frac{dx}{dy} = xy - x$。
提取公因式$\frac{dx}{dy}$得$\frac{dx}{dy}(y - xy) = x(y - 1)$。
进一步变形为$\frac{dx}{dy} \cdot y(1 - x) = x(y - 1)$。
两边同时除以$y(1 - x)$，解得$\frac{dx}{dy} = \frac{x(y - 1)}{y(1 - x)}$。