25.（判断题，4分） 若overrightarrow(a)timesoverrightarrow(b)+overrightarrow(b)timesoverrightarrow(c)+overrightarrow(c)timesoverrightarrow(a)=overrightarrow(0)，则overrightarrow(a),overrightarrow(b),overrightarrow(c)共面.A. 对B. 错

本题考查向量混合积的性质以及向量共面的判定。解题的关键思路是通过已知条件推导出向量混合积为$0$，再根据向量混合积与向量共面的关系得出结论。

1. 已知$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$。
2. 为了判断$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是否共面，我们考虑它们的混合积$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})$。
   • 用$\overrightarrow{a}$点乘等式$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$的两边，根据向量点乘的分配律可得：
     • $\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{0}$。
   • 再根据向量点乘的分配律进一步展开：
     • $\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})+\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})+\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}$。
3. 根据向量混合积的性质：
   • 对于$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})$，由于$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$垂直（向量叉乘的结果与参与叉乘的两个向量都垂直），所以$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}) = 0$。
   • 同理，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a}$垂直，所以$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a}) = 0$。
   • 那么$0+\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})+0=\overrightarrow{0}$，即$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}) = 0$。
4. 根据向量共面的判定定理：
   • 若三个向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$的混合积$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}) = 0$，则这三个向量共面。