题目
[题目]若矩阵A,B满足 =0, () 则 ()-|||-A A=0 或 B=0-|||-B neq 0 neq 0-|||-C A=0 且 B=0-|||-D以上结论都不正确

题目解答
答案

解析
考查要点:本题主要考查矩阵乘法的性质,特别是零乘积矩阵的存在性,即两个非零矩阵相乘可能得到零矩阵的情况。
解题核心思路:通过构造反例,逐一排除选项A、B、C的绝对性结论,从而确定正确答案为D。
破题关键点:
- 选项A:需验证是否存在非零矩阵A、B满足AB=0,若存在则选项A错误。
- 选项B:若存在A=0或B=0的情况,则选项B不成立。
- 选项C:显然非零矩阵可能满足AB=0,因此选项C错误。
选项分析
选项A(A=0或B=0)
构造反例:
设矩阵
$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
计算得:
$AB = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
此时AB=0,但A≠0且B≠0,故选项A错误。
选项B(A≠0且B≠0)
若A为零矩阵,则无论B是否为零,均有AB=0。例如:
$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
此时A=0,B≠0,但AB=0,说明选项B的条件不成立,故选项B错误。
选项C(A=0且B=0)
同选项A的反例,存在非零矩阵A、B满足AB=0,故选项C错误。
结论
所有选项均存在反例,因此正确答案为D。