题目
7.(简答题)设方阵A=(}-1&0&20&1&22&2&0)问A能否对角化?若能对角化，求出可逆矩阵P使得 P^-1AP 为对角阵。
7.(简答题)
设方阵
$A=\left(\begin{matrix}-1&0&2\\0&1&2\\2&2&0\end{matrix}\right)$
问A能否对角化?若能对角化，求出可逆矩阵P使得 $P^{-1}AP$ 为对角阵。
题目解答
答案
求得特征值为 $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = 3$, $\lambda_3 = -3$，对应特征向量分别为：
\[
\alpha_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \alpha_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \alpha_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
由于有三个线性无关的特征向量，矩阵可对角化。构造可逆矩阵 $P$：
\[
P = \boxed{\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}}
\]
则对角阵 $P^{-1}AP$ 为：
\[
\boxed{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}}
\]
解析
矩阵对角化的条件是矩阵必须有n个线性无关的特征向量（n为矩阵阶数）。本题中，矩阵A为3×3，因此需要验证其是否存在三个线性无关的特征向量。
解题核心思路：
- 求特征值：通过解特征方程$\det(A - \lambda I) = 0$得到特征值。
- 判断几何重数：每个特征值对应的特征向量是否足够线性无关。
- 构造矩阵P：若存在足够特征向量，则将它们作为列向量组成可逆矩阵P。
破题关键点：
- 特征值计算：正确展开行列式并简化。
- 特征向量求解：对每个特征值求解齐次方程组，确保每个特征值对应的特征向量线性无关。
- 矩阵可逆性：验证特征向量组成的矩阵P是否可逆（行列式非零）。
1. 求特征值
计算特征方程$\det(A - \lambda I) = 0$：
$\begin{aligned}\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & 0 & 2 \\0 & 1-\lambda & 2 \\2 & 2 & -\lambda\end{pmatrix}
&= (-1-\lambda)\left[(1-\lambda)(-\lambda) - 4\right] + 2\left[-2(1-\lambda)\right] \\
&= -\lambda^3 + 9\lambda = 0 \\
&\Rightarrow \lambda = 0, 3, -3.
\end{aligned}$
2. 求特征向量
- $\lambda_1 = 0$：解$(A - 0I)\mathbf{x} = 0$，得特征向量$\alpha_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$。
- $\lambda_2 = 3$：解$(A - 3I)\mathbf{x} = 0$，得特征向量$\alpha_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$。
- $\lambda_3 = -3$：解$(A + 3I)\mathbf{x} = 0$，得特征向量$\alpha_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$。
3. 验证线性无关性
三个特征向量$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，因此矩阵A可对角化。
4. 构造矩阵P
将特征向量按列排列，组成可逆矩阵：
$P = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}.$