题目

解线性方程组}2x_{1)-x_(2)-x_(3)=2x_(1)+x_(2)+4x_(3)=03x_(1)-7x_(2)+5x_(3)=-1..

解线性方程组$\left\{\begin{matrix}2x_{1}-x_{2}-x_{3}=2\\x_{1}+x_{2}+4x_{3}=0\\3x_{1}-7x_{2}+5x_{3}=-1.\end{matrix}\right.$

题目解答

答案

将方程组编号为：
$\begin{cases}(1) & 2x_1 - x_2 - x_3 = 2 \$2) & x_1 + x_2 + 4x_3 = 0 \$3) & 3x_1 - 7x_2 + 5x_3 = -1\end{cases}$

消元求解：

  1. 消去 $x_1$：
    由 (2)×2 - (1) 得 $3x_2 + 9x_3 = -2$（记为 (4)），
    由 (2)×3 - (3) 得 $10x_2 + 7x_3 = 1$（记为 (5)）。

  2. 消去 $x_2$：
    由 (4)×10 - (5)×3 得 $69x_3 = -23$，解得 $x_3 = -\frac{1}{3}$。

  3. 求 $x_2$：
    将 $x_3 = -\frac{1}{3}$ 代入 (4) 得 $3x_2 + 9\left(-\frac{1}{3}\right) = -2$，解得 $x_2 = \frac{1}{3}$。

  4. 求 $x_1$：
    将 $x_2 = \frac{1}{3}$，$x_3 = -\frac{1}{3}$ 代入 (2) 得 $x_1 + \frac{1}{3} + 4\left(-\frac{1}{3}\right) = 0$，解得 $x_1 = 1$。

解：
$\boxed{\begin{cases}x_1 = 1 \\x_2 = \frac{1}{3} \\x_3 = -\frac{1}{3}\end{cases}}$

解析

本题考查线性方程组的求解，解题思路是通过消元法逐步减少未知数的个数，先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，再消去一个未知数，解出一个未知数的值，最后将求出的值代回原方程组，求出其余未知数的值。

  1. 首先对原方程组进行编号：
    • 原方程组$\left\{\begin{matrix}2x_{1}-x_{2}-x_{3}=2&(1)\\x_{1}+x_{2}+4x_{3}=0&(2)\\3x_{1}-7x_{2}+5x_{3}=-1&(3)\end{matrix}\right.$
  2. 消去$x_1$：
    • 为了消去$x_1$，我们对$(2)$式乘以$2$再减去$(1)$式。
      • $(2)\times2$得：$2(x_{1}+x_{2}+4x_{3}) = 2\times0$，根据乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$，展开得$2x_{1}+2x_{2}+8x_{3}=0$。
      • 用$2x_{1}+2x_{2}+8x_{3}=0$减去$2x_{1}-x_{2}-x_{3}=2$，即$(2x_{1}+2x_{2}+8x_{3})-(2x_{1}-x_{2}-x_{3})=0 - 2$。
      • 去括号得$2x_{1}+2x_{2}+8x_{3}-2x_{1}+x_{2}+x_{3}=-2$。
      • 合并同类项，$(2x_{1}-2x_{1})+(2x_{2}+x_{2})+(8x_{3}+x_{3})=-2$，得到$3x_{2}+9x_{3}=-2$，记为$(4)$式。
    • 同样，对$(2)$式乘以$3$再减去$(3)$式。
      • $(2)\times3$得：$3(x_{1}+x_{2}+4x_{3}) = 3\times0$，展开得$3x_{1}+3x_{2}+12x_{3}=0$。
      • 用$3x_{1}+3x_{2}+12x_{3}=0$减去$3x_{1}-7x_{2}+5x_{3}=-1$，即$(3x_{1}+3x_{2}+12x_{3})-(3x_{1}-7x_{2}+5x_{3})=0-(-1)$。
      • 去括号得$3x_{1}+3x_{2}+12x_{3}-3x_{1}+7x_{2}-5x_{3}=1$。
      • 合并同类项，$(3x_{1}-3x_{1})+(3x_{2}+7x_{2})+(12x_{3}-5x_{3})=1$，得到$10x_{2}+7x_{3}=1$，记为$(5)$式。
  3. 消去$x_2$：
    • 为了消去$x_2$，对$(4)$式乘以$10$，$(5)$式乘以$3$，然后相减。
      • $(4)\times10$得：$10(3x_{2}+9x_{3}) = 10\times(-2)$，展开得$30x_{2}+90x_{3}=-20$。
      • $(5)\times3$得：$3(10x_{2}+7x_{3}) = 3\times1$，展开得$30x_{2}+21x_{3}=3$。
      • 用$30x_{2}+90x_{3}=-20$减去$30x_{2}+21x_{3}=3$，即$(30x_{2}+90x_{3})-(30x_{2}+21x_{3})=-20 - 3$。
      • 去括号得$30x_{2}+90x_{3}-30x_{2}-21x_{3}=-23$。
      • 合并同类项，$(30x_{2}-30x_{2})+(90x_{3}-21x_{3})=-23$，得到$69x_{3}=-23$。
      • 解得$x_{3}=\frac{-23}{69}=-\frac{1}{3}$。
  4. 求$x_2$：
    • 将$x_{3}=-\frac{1}{3}$代入$(4)$式$3x_{2}+9x_{3}=-2$中，得到$3x_{2}+9\times(-\frac{1}{3})=-2$。
    • 先计算$9\times(-\frac{1}{3})=-3$，则方程变为$3x_{2}-3=-2$。
    • 移项得$3x_{2}=-2 + 3$，即$3x_{2}=1$。
    • 解得$x_{2}=\frac{1}{3}$。
  5. 求$x_1$：
    • 将$x_{2}=\frac{1}{3}$，$x_{3}=-\frac{1}{3}$代入$(2)$式$x_{1}+x_{2}+4x_{3}=0$中，得到$x_{1}+\frac{1}{3}+4\times(-\frac{1}{3})=0$。
    • 先计算$4\times(-\frac{1}{3})=-\frac{4}{3}$，则方程变为$x_{1}+\frac{1}{3}-\frac{4}{3}=0$。
    • 合并同类项得$x_{1}+\frac{1 - 4}{3}=0$，即$x_{1}-\frac{3}{3}=0$，也就是$x_{1}-1=0$。
    • 解得$x_{1}=1$。