2.求下列矩阵的秩:-|||-(1) (} 1& -1& 5& -1 1& 1& -2& 3 3& -1& 8& 1 1& 3& -9& 7 ) .

矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数，等价于行阶梯形矩阵中非零行的个数。解题的核心思路是通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形，再统计非零行的数量。关键步骤包括：

1. 选择主元：每列中选取非零元素作为主元，必要时交换行；
2. 消元：用主元所在的行消去下方（或上方）对应列的元素；
3. 化简：重复上述步骤，直到矩阵呈现阶梯形。

第（1）题

原矩阵：
$\begin{pmatrix}1 & -1 & 5 & -1 \\1 & 1 & -2 & 3 \\3 & -1 & 8 & 1 \\1 & 3 & -9 & 7\end{pmatrix}$

步骤1：消去第一列下方元素

• 第二行：$R_2 \leftarrow R_2 - R_1$ → $(0, 2, -7, 4)$
• 第三行：$R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$ → $(0, 2, -7, 4)$
• 第四行：$R_4 \leftarrow R_4 - R_1$ → $(0, 4, -14, 8)$

矩阵变为：
$\begin{pmatrix}1 & -1 & 5 & -1 \\0 & 2 & -7 & 4 \\0 & 2 & -7 & 4 \\0 & 4 & -14 & 8\end{pmatrix}$

步骤2：消去第二列下方元素

• 第三行：$R_3 \leftarrow R_3 - R_2$ → 全零行
• 第四行：$R_4 \leftarrow R_4 - 2R_2$ → 全零行

矩阵变为：
$\begin{pmatrix}1 & -1 & 5 & -1 \\0 & 2 & -7 & 4 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

结论：非零行数为2，故秩为2。

第（2）题

原矩阵：
$\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & -1 & 2 \\0 & 2 & -2 & -2 & 0 \\0 & -1 & -1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0 & 1 & -1\end{pmatrix}$

步骤1：交换第一行与第四行

$\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & -1 \\0 & 2 & -2 & -2 & 0 \\0 & -1 & -1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 1 & -1 & 2\end{pmatrix}$

步骤2：处理第二列

• 第二行：$R_2 \leftarrow \frac{1}{2}R_2$ → $(0, 1, -1, -1, 0)$
• 第三行：$R_3 \leftarrow R_3 + R_2$ → $(0, 0, -2, 0, 1)$
• 第四行：$R_4 \leftarrow R_4 - R_2$ → $(0, 0, 2, 0, 2)$

矩阵变为：
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & -1 \\0 & 1 & -1 & -1 & 0 \\0 & 0 & -2 & 0 & 1 \\0 & 0 & 2 & 0 & 2\end{pmatrix}$

步骤3：处理第三列

• 第四行：$R_4 \leftarrow R_4 + R_3$ → $(0, 0, 0, 0, 3)$

最终矩阵：
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & -1 \\0 & 1 & -1 & -1 & 0 \\0 & 0 & -2 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 & 3\end{pmatrix}$

结论：非零行数为4，故秩为4。