题目
设向量 boldsymbol(e)_1 = [1, 0, 0]^T，boldsymbol(e)_2 = [0, 1, 0]^T，boldsymbol(e)_3 = [0, 0, 1]^T。已知k_1boldsymbol(e)_1 + k_2boldsymbol(e)_2 + k_3boldsymbol(e)_3 = boldsymbol(0)，则(）。A. k_1, k_2, k_3 可以取任意实数；B. k_1, k_2, k_3 至少一个不能为 0；C. k_1, k_2, k_3 只能全为 0；D. k_1, k_2, k_3 全不为 0。
设向量 $\boldsymbol{e}_1 = [1, 0, 0]^T$，$\boldsymbol{e}_2 = [0, 1, 0]^T$，$\boldsymbol{e}_3 = [0, 0, 1]^T$。已知$k_1\boldsymbol{e}_1 + k_2\boldsymbol{e}_2 + k_3\boldsymbol{e}_3 = \boldsymbol{0}$，则(）。
A. $k_1, k_2, k_3$ 可以取任意实数；
B. $k_1, k_2, k_3$ 至少一个不能为 0；
C. $k_1, k_2, k_3$ 只能全为 0；
D. $k_1, k_2, k_3$ 全不为 0。
题目解答
答案
C. $k_1, k_2, k_3$ 只能全为 0；
解析
步骤 1：将向量方程写成向量形式
给定的方程是 $k_1\boldsymbol{e}_1 + k_2\boldsymbol{e}_2 + k_3\boldsymbol{e}_3 = \boldsymbol{0}$，其中 $\boldsymbol{e}_1 = [1, 0, 0]^T$，$\boldsymbol{e}_2 = [0, 1, 0]^T$，$\boldsymbol{e}_3 = [0, 0, 1]^T$。将这些向量代入方程，得到：
\[k_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + k_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + k_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.\]
步骤 2：合并向量
将上述方程中的向量合并，得到：
\[\begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.\]
步骤 3：确定$k_1, k_2, k_3$的值
从合并后的向量方程中，我们可以看到，要使等式成立，$k_1, k_2, k_3$必须同时为0。因此，$k_1, k_2, k_3$只能全为0。
给定的方程是 $k_1\boldsymbol{e}_1 + k_2\boldsymbol{e}_2 + k_3\boldsymbol{e}_3 = \boldsymbol{0}$，其中 $\boldsymbol{e}_1 = [1, 0, 0]^T$，$\boldsymbol{e}_2 = [0, 1, 0]^T$，$\boldsymbol{e}_3 = [0, 0, 1]^T$。将这些向量代入方程，得到：
\[k_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + k_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + k_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.\]
步骤 2：合并向量
将上述方程中的向量合并，得到：
\[\begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.\]
步骤 3：确定$k_1, k_2, k_3$的值
从合并后的向量方程中，我们可以看到，要使等式成立，$k_1, k_2, k_3$必须同时为0。因此，$k_1, k_2, k_3$只能全为0。